Traitement numérique des signaux: 3e édition

Chapitre 4: Fonctions de transfertet stabilité

4 Fonctions de transfert et stabilité 4.1 Introduction La transformée en Z a fait l’objet d’une étude générale au chapitre précédent . Nous étudierons ici plus particulièrement la transformée en Z de la réponse impulsionnelle d’un système linéaire invariant dans le temps (SLIT) . C’est la fonction de transfert de ce système . Nous présenterons aussi une méthode permettant de déterminer si un SLIT est stable, à partir des propriétés de sa fonction de transfert . 4.2 Fonction de transfert d’un SLIT Tout système linéaire invariant dans le temps (SLIT) peut être exprimé sous la forme d’une équation aux différences (EAD) ayant la forme générale suivante: y (n) = βk x(n − k ) + αk y (n − k ) k ≠ 0 k = N1 N2 ∑ k = M1 M2 ∑ (4 .2 .1) où x(n) est le signal d’entrée du système et y(n) son signal de sortie . Si nous appliquons la transformée en Z aux deux membres de l’équation 4 .2 .1, nous obtenons alors: Y(z) = βkz−k k = M1 M2 ∑ X(z) + αkz−k Y(z) k = N1 k ≠ 0 N2 ∑ (4 .2 .2) ou: Y(z) 1 − αkz−k k = N1 k ≠ 0 N2 ∑           = X(z) βkz−k k = M1 M2 ∑ (4 .2 .3) 130 Traitement numérique des signaux Le rapport H(z) entre Y(z), qui est la transformée en Z du signal de sortie y(n), et X(z), qui est celle du signal d’entrée x(n), est donné par: H(z) = Y(z) X(z) = βkz−k M1 M2 ∑ 1 − αkz−k k ≠ 0 k = N1 N2 ∑ (4 .2 .4) H(z) est la fonction de transfert du SLIT . Il est possible d’obtenir la fonction de transfert d’un SLIT à partir de l’équation aux différences qui le caractérise et vice-versa . H(z) est aussi la transformée en Z de la réponse impulsionnelle h(n) du SLIT . Ceci découle du fait que la TZ d’un signal d’entrée consistant en une impulsion x(n) = d(n) est X(z) = 1 . De plus, on remarquera que puisque le signal de sortie de tout SLIT peut être obtenu en effectuant le produit de convolution de son signal d’entrée x(n) par sa réponse impulsionnelle h(n), on a: y(n) = h(n)*x(n) ↔ Y(z) = H(z) X(z) ↔ H(z) = Y(z) X(z) (4 .2 .5) Les racines du numérateur et du dénominateur d’une fonction de transfert telle que H(z) sont respectivement désignées comme étant les zéros et les pôles de cette dernière . Exemple E4.2.1 Obtenir les zéros et les pôles de la fonction de transfert suivante: H(z) = z2 + z + 1 (z + 0 .5)(z − 0 .5)(z2 + 0 .49)(z2 + z + 0 .5) Solution Les racines du numérateur de H(z) sont les zéros de cette fonction de transfert: z2 + z + 1 = 0 (z + 0 .5 + j0 .8666) (z + 0 .5 – j0 .8666) = 0 zz1 = –0 .5 – j0 .8666, zz2 = –0 .5 + j0 .8666 Les racines du dénominateur de H(z) sont les pôles de cette fonction de transfert: Fonctions de transfert et stabilité 131 (z + 0 .5)(z – 0 .5)(z2 + 0 .49)(z2 + z + 0 .5) = 0 (z + 0 .5)(z – 0 .5)(z + j0 .7)(z – j0 .7)(z + 0 .5 + j0 .5)(z + 0 .5 – j0 .5) = 0 zp1 = –0 .5, zp2 = 0 .5, zp3 = –j0 .7, zp4 = j0 .7, zp5 = –0 .5 – j0 .5, zp6 = –0 .5 + j0 .5 Exemple E4.2.2 Obtenir l’équation aux différences d’un SLIT dont la fonction de transfert est: H(z) = z z2 + 2z + 3 ( ) z3 + 8z2 + 26z + 24 dans chacun des deux cas suivants: a . Le SLIT est causal . b . Le SLIT est anticausal . Solution a . Le système étant causal, le signal de sortie n’est fonction que des valeurs antérieures du signal d’entrée et du signal de sortie et aussi éventuellement de la valeur présente du signal d’entrée . Il s’ensuit que la fonction de transfert donnée plus haut doit être exprimée sous la forme suivante...