Éléments d'analyse complexe

Chapitre 3. Fonctions élémentaires

Chapitre 3 FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 3.1 Introduction L’objectif de ce chapitre est de montrer que les fonctions élémentaires réelles peuvent être généralisées aux complexes et de souligner les particularités que nous y rencontrerons alors. 3.2 La fonction exponentielle ez II faut définir ez de telle sorte que les propriétés que nous trouvons chez les réels soient préservées ; par exemple : 80 Fonctions élémentaires Fonctions élémentaires 81 82 Fonctions élémentaires La droite abc est envoyée sur la droite a’b’c’ car ez = ex (cos(π - є) + isin (π - є)). Si є -, 0, la droite a’b’c’ va tendre vers l’axe négatif des x. La droite cde s’en va sur le petit cercle c’d’e’ car ez = e-R (cosy + isiny). La droite efg s’en va sur e’f’g’. Et enfin, gha s’en va sur le grand cercle. Si R → ∞ le grand cercle tend vers l’infini. En somme l’image du rectangle ouvert recouvre tout le plan, sauf le zéro et l’axe négatif des x, quand R → ∞ et є → 0. Toutes les autres bandes, v-g. π 0} par f1 et f2. c) Trouver l’image de {z: I(z) > 0} par f1 et f2. d) Évaluer f’1(-i), f’1(1), f’1(i), f’2(-i), f’2(1) et f’2(i). e) f1 et f2 sont-elles différentiables à -1? Fonctions élémentaires 109 21. Soit a un nombre réel strictement positif. a) Montrer qu’au moins une et au plus deux des valeurs de aa sont réelles. b) Montrer que parmi les valeurs de aa , il y a une valeur purement imaginaire (partie réelle nulle) si et seulement si a est un rationnel qui, ramené à sa plus simple expression, a un numérateur impair et un dénominateur divisible par 4. 22. Considérons la fonction multiforme f(z) - z1/2 , où z = r eiθ et -π < θ ≤ π. 110 Fonctions élémentaires Fonctions élémentaires 111 112 Fonctions élémentaires Réponses Fonctions élémentaires 113 ...