Introduction à l'analyse fonctionnelle

Chapitre 5_Fonctionnelles linéaires

CHAPITRE V FONCTIONNELLES LINÉAIRES Dans ce chapitre, nous étudierons les applications linéaires définies sur un espace linéaire sur K que nous appelons les fonctionnelles linéaires. Après avoir introduit quelques résultats généraux (paragraphe 1), nous nous limitons dans le paragraphe 2 à l’ensemble X’ des fonctionnelles linéaires continues sur un espace normé X. On appelle X’ l’espace dual topologique de X et X’ est lui-même un espace de Banach. Dans le cas particulier où X H est un espace de Hilbert (paragraphe 3), H’ est anti-isomorphe à H. Le théorème central de ce chapitre est le théorème de Hahn-Banach (paragraphe 4) (voir aussi le projet I) qui admet de nombreuses applications. Dans le paragraphe 5, nous donnons explicitement l’espace dual topologique de X = c ; X = LP (dµ) ; 1 ≤ p < ∞, et de X = C(K) où K est un espace métrique compact. Après avoir démontré le théorème de Banach-Steinhaus (paragraphe 6), nous finissons ce chapitre par une courte introduction aux distributions (paragraphe 7). 268 Introduction à l’analyse fonctionnelle 5.1 FONCTIONNELLES LINÉAIRES SUR UN ESPACE LINÉAIRE Après avoir donné quelques exemples de fonctionnelles linéaires, nous montrons qu’une fonctionnelle linéaire est caractérisée par son noyau. Soit X un espace linéaire sur le corps K. DÉFINITION 5.1.2. Une fonctionnelle réelle f, définie sur un espace linéaire réel ou complexe X, s’appelle sous-additive si (1) f(x + y) ≤ f(x) + f(y), pour tout x,y Є X. La fonctionnelle f s’appelle positive-homogène si (2) f(αx) = αf(x), pour tout x Є X et pour tout nombre α ≥ 0 . Une fonctionnelle sous-additive et positive-homogène s’appelle fonctionnelle sous-linéaire ou encore fonctionnelle convexe. REMARQUE 5.1.3. Une fonctionnelle sous-linéaire f sur l’espace linéaire X a les propriétés suivantes : f(o) = 0 et -f(-x) ≤ f(x). En effet, si on prend dans (2), α = 0, on obtient f(o) = 0. De plus, 0 = f(o) = f(x + (-x)) ≤ f(x) + f(-x). EXEMPLE 5.1.4. Soit (X, || ||) un espace normé. Alors la norme || || est une fonctionnelle convexe sur X. EXEMPLE 5.1.5. Considérons l’espace linéaire réel ℓ∞ (voir 2.1.7). Fonctionnelles linéaires 269 DÉFINITION 5.1.6. Une fonctionnelle f : X → K est homogène si f(αx) = αf(x), pour tout α Є K et x Є X. Une fonctionnelle est additive si f(x + y) = f(x) + f(y) pour tout x,y Є X. Une fonctionnelle linéaire est une application f : X → K additive et homogène, en d’autres mots : f(αx + βy) = αf (x) + βf (y) pour tout x,y Є X et pour tout α,β Є K. Nous allons noter l’ensemble de fonctionnelles linéaires sur X par La(X,K) et ses éléments, les fonctionnelles linéaires, par x’,y’,... Remarquons que La(X,K) n’est pas vide parce que x’(x) = 0 pour tout x Є X, notée par x’ = o’, est une fonctionnelle linéaire. 270 Introduction à l’analyse fonctionnelle est une fonctionnelle linéaire. THÉORÈME 5.1.10. Soit X un espace linéaire sur le corps K. Alors l’ensemble La(X,K) est un espace linéaire sur K, par rapport aux opérations habituelles d’addition et de multiplication par un scalaire des applications. Fonctionnelles linéaires 271 DÉFINITION 5.1.11. L’espace linéaire La(X,K) s’appelle l’espace dual algébrique de X. Puisque La(X,K) est un espace linéaire, on peut parler de son espace dual algébrique, i.e. La(La(X,K), K), qui s’appelle l’espace bidual algébrique de X. c.à-d. dim La(X,K) = n. Puisque chaque espace linéaire sur le corps K, de dimension algébrique n, est isomorphe à l’espace linéaire Kn (voir 2.4.4), toute 272 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 273 274 Introduction à l’analyse fonctionnelle 5.2 FONCTIONNELLES LINÉAIRES CONTINUES SUR UN ESPACE NORME Puisque tout espace normé est un espace linéaire, tous les résultats du paragraphe 5.1 restent valides pour ce cas. De plus, l’existence d’une norme sur l’espace X nous permet de trouver des propriétés intéressantes pour les fonctionnelles linéaires continues. Fonctionnelles linéaires 275 276 Introduction à l’analyse fonctionnelle THÉORÈME 5.2.8. Soit (X, || ||) un espace de Banach et soit x’ une fonctionnelle linéaire sur X. Les quatre énoncés suivants sont équivalents. i) x’ est bornée. ii) x’ est uniformément continue sur X. iii) x’ est continue à l’origine. iv) ker x’ est fermé. Fonctionnelles linéaires 277 278 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 279 Donc x’ étant borné, il est continu, i.e. x’ Є X’. *** 5.3 FONCTIONNELLES LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT Dans ce paragraphe nous montrons d’abord le théorème de Riesz qui dit qu’une fonctionnelle linéaire continue sur un espace de Hilbert possède une représentation par un produit scalaire ; ce qui entraîne qu’un espace de Hilbert est réflexif (voir 5.5.20). 280 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 281 THÉORÈME 5.3.3. Un espace de Hilbert H et son dual topologique H’ sont anti-isomorphes comme espaces normés. Dans un anti-isomorphisme, la condition φ(λx) = λφ(x) d’un isomorphisme est remplacée par φ(λx) -- λφ(x). 282 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 283 284 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 285 286 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 287 288 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 289 Nous donnons maintenant quelques applications du théorème de Hahn-Banach aux cas des espaces normés. 290 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 291 5.5 L’ESPACE DUAL TOPOLOGIQUE D’UN ESPACE NORME Dans ce paragraphe, nous donnons d’abord quelques exemples d’espaces duals topologiques. 292 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionne1les linéaires 293 294 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 295 296 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 297 298 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 299 Nous donnons maintenant l’espace dual topologique de (C(X),|| ||∞) où X est un espace métrique compact. THÉORÈME 5.5.5. (Riesz). Soit X un espace métrique compact et C(X) l’espace des fonctions continues sur X muni de la topologie uniforme. Alors (C(X))’ est isomorphe à l’ensemble de mesures complexes(régulières) sur la σ-algèbre de Borel sur X. DÉMONSTRATION. Il faut donc montrer que pour une fonctionnelle linéaire continue x’ dans (C(X))’ donnée, il existe une mesure uniquement déterminée µ telle que 300 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 301 302 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 303 304 Introduction à l’analyse fonctionnelle Nous avons déjà vu que l’espace dual topologique d’un espace normé et un espace normé. Le prochain théorème montre qu’il s’agit même d’un espace de Banach. THÉORÈME 5.5.7. Soit (X, || ||) un espace normé. Alors son dual topologique (X’, || ||) est un espace de Banach. Fonctionnelles linéaires 305 306 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 307 308 Introduction à l’analyse fonctionnelle Considérons un espace normé (X, || ||) et son espace dual topologique (X’, || ||’) qui est lui-même un espace de Banach. Il est donc raisonnable d’étudier l’espace dual topologique de X’ appelé l’espace bidual topologique et qui est noté par X". Une sous-classe importante de X" est l’ensemble de fonctionnelles linéaires continues définies par Fonctionnelles linéaires 309 310 Introduction à l’analyse fonctionnelle 5.6 LE THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS Le théorème de Banach-Steinhaus dit que si une famille de fonctionnelles linéaires (ou d’opérateurs linéaires, voir 6.10) est localement bornée, alors elle est bornée en norme. Fonctionnelles linéaires 311 La condition que (X, || ||) est un espace de Banach est nécessaire. Le théorème de Banach-Steinhauss n’est pas vrai, en général, pour un espace normé non complet. EXEMPLE 5.6.2. Considérons l’espace de polynômes P à cœfficients dans K. Pour un polynôme 312 Introduction à l’analyse fonctionnelle THÉORÈME 5.6.3. Soient (X, || ||) un espace normé et A un sous-ensemble non vide de X. Alors A est borné si et seulement si pour tout x’ Є X’ l’ensemble numérique x’(A) est borné. Fonctionnelles linéaires 313 314 Introduction à l’analyse fonctionnelle DÉMONSTRATION. a) Si x’ est continue alors le théorème est évident. b) Supposons donc que x’ n’est pas continue. Il existe donc une suite Fonctionnelles linéaires 315 316 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 317 318 Introduction à l’analyse fonctionnelle Remarquons que l’addition de deux distributions est déjà définie comme addition de deux fonctionnelles linéaires. De plus la multiplication d’une distribution par un scalaire est compatible avec la définition 5.7.7. Nous introduisons maintenant l’opération la plus importante, à savoir la dérivée d’une distribution. DÉFINITION 5.7.8. La dérivée de la distribution x’ est définie par Fonctionnelles linéaires 319 Il s’agit donc de la distribution engendrée par la dérivée de f. THÉORÈME 5.7.9. Chaque distribution admet une dérivée qui est elle-même une distribution. 320 Introduction à l’analyse fonctionnelle L’endroit où les distributions trouvent les applications les plus fréquentes est dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Dans plusieurs cas on ne peut pas trouver des solutions classiques, (par exemple, une fonction), mais qu’il existe une solution au sens des distributions. Fonctionnelles linéaires 321 322 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 323 324 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 325 326 Introduction à 1’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 327 328 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 329 22. Montrez que si X est un espace de Banach, alors X est réflexif si et seulement si X’ est réflexif. 23. Montrez qu’un sous-espace fermé d’un espace de Banach réflexif est réflexif. 24. Montrez qu’un espace de Banach uniformément convexe est réflexif. Donc une autre démonstration pour le théorème 5.5.20 sans utiliser le théorème 5.3.1. 20. Soit (X, || ||) un espace normé. Un sous-ensemble A de X est faiblement borné si x’(A) est un sous-ensemble borné dans K pour tout x’ Є X’, i.e. il existe pour tout x’ Є X’ un nombre positif Mx’ tel que pour tout x Є A on ait |x’(x)| < Mx’. Montrez que tout sous-ensemble faiblement borné de X est borné. 330 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 331 PROJET I. Le théorème de la séparation de Hahn-Banach. Dans ce projet, soit X un espace linéaire normé ou localement convexe sur K (voir projet V, chap. 3). Nous allons transformer le théorème de Hahn-Banach en une version géométrique connue sous le nom du théorème de la séparation de Hahn-Banach. 332 Introduction à l’analyse fonctionnelle Fonctionnelles linéaires 333 334 Introduction à l’analyse fonctionnelle ...