Introduction à l'analyse fonctionnelle

Chapitre 1_Préliminaires

CHAPITRE 1 PRÉLIMINAIRES Le premier chapitre de ce livre est consacré à des sujets qui sont supposés être connus par le lecteur. Nous donnons un court résumé des théorèmes et définitions que nous allons utiliser dans les autres chapitres. Dans le premier paragraphe, nous parlons d’ensembles ordonnés pour arriver à l’axiome des chaînes maximales. Dans le deuxième paragraphe, nous donnons quelques notions de base de topologie générale. Nous avons pourtant préféré ne pas aller trop loin dans la généralisation et ne considérer que le cas des espaces métriques. Le lecteur qui n’est pas familier avec la topologie générale peut donc aussi suivre le livre sans difficulté. Le troisième paragraphe est un résumé de la théorie de la mesure et de l’intégration. La connaissance de ce domaine est indispensable et nous suggérons au lecteur qui n’est pas familier avec ce domaine de bien lire ce paragraphe. 2 Introduction à l’analyse fonctionnelle 1.1 ENSEMBLES ORDONNES, AXIOME DES CHAÎNES MAXIMALES Les quelques notions de la théorie des ensembles ordonnés présentées ici sont nécessaires pour énoncer l’axiome des chaînes maximales. Celui-ci sera utilisé dans la démonstration de certains théorèmes fondamentaux de l’analyse fonctionnelle. Préliminaires 3 4 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 5 6 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 7 8 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 9 10 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 11 12 Introduction à l’analyse fonctionnelle est une fonction semi-continue inférieurement et l’infimum d’un ensemble de fonctions semi-continues supérieurement est une fonction semi-continue supérieurement. Préliminaires 13 1.3 MESURE ET INTÉGRATION Dans ce paragraphe, nous donnons un aperçu des définitions et théorèmes de la théorie de la mesure et de l’intégration que nous utiliserons plus tard. De plus nous prouverons les inégalités de Hölder et de Minkowski. L’inégalité de Hölder est une généralisation de l’inégalité de Cauchy qui dit que dans l’espace euclidien le module du produit scalaire de deux vecteurs est plus petit ou égal au produit de ses longueurs. D’autre part, l’inégalité de Minkowski généralise l’inégalité de triangle. Ces deux inégalités sont souvent utilisées dans l’analyse fonctionnelle. 14 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 15 16 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 17 18 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 19 20 Introduction à l’analyse fonctionnelle Autrement dit une mesure complexe µ peut être écrite comme µ = µl + i µ2, où µ1,µ2 sont deux mesures réelles sur M. La variation totale |µ| est, comme avant, la plus petite mesure positive qui majore la valeur absolue de µ sur les ensembles mesurables. Préliminaires 21 Notons que φ n’est pas intégrable au sens de Riemann ! Le prochain théorème résume les propriétés élémentaires de l’intégrale d’une fonction simple, mesurable et positive. 22 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 23 24 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 25 26 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 27 Nous allons étudier cette convergence plus profondément dans le chapitre 3. Pour l’instant ne mentionnons qu’une seule propriété. 28 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 29 30 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 31 32 Introduction à l’analyse fonctionnelle Préliminaires 33 34 Introduction à l’analyse fonctionnelle C. LES INÉGALITES DE HOLDER ET DE MINKOWSKI L’inégalité de Hölder est une généralisation de l’inégalité de Cauchy qui dit que dans l’espace euclidien le module du produit scalaire de deux vecteurs est plus petit ou égal au produit de ses longueurs. D’autre part l’inégalité de Minkowski généralise l’inégalité de triangle. Ces deux inégalit...