Hasard, nombres aléatoires et méthode Monte Carlo

Chapitre 1 Nombres aléatoires et méthode Monte Carlo Introduction

Nombres aléatoires et méthode Monte Carlo Introduction 1.1 Cet ouvrage traite des séries de nombres aléatoires, de leurs propriétés, leur test, leur génération, leur application dans l'estimation Monte Carlo. L'univers de l'homme moderne, si pétri de rationnalisme, si environné de technologie et d'artéfacts rassurants, est néanmoins imprégné de hasard, plus que ne l'était celui de nos ancêtres. La démographie, la médecine préventive, la météorologie, les assurances, les loteries, les sondages, tout cela a façonné notre appréhension des choses et des événements, de sorte que risque, probabilité, tendance moyenne, fluctuation sont maintenant des concepts bien répandus. Ces concepts reposent essentiellement sur ceux d'événement aléatoire et de série de résultats aléatoires. Les nombres aléatoires nous confrontent directement dans les jeux de hasard et dans les loteries; les joueurs plus optimistes espèrent le miracle, les plus acharnés prétendent imposer leur martingale. Œuvrant du côté plus sûr, les actuaires équilibrent risques et bénéfices pour les placements boursiers, l'assurance-accident, l'assurance-vie. Certains épidémiologues, prenant le pouls d'une situation, cherchent à mesurer et anticiper le progrès d'une maladie dans la population. Sondeurs, enquêteurs, organismes de planification publique, firmes de marketing, tous font affaire avec une réalité diverse, imprécise et changeante, dont ils prennent connaissance par des collections d'observations et de mesures; le succès de leur travail dépend en bonne partie de leur capacité à bien saisir et décrire l'état actuel du système à l'étude et à prédire son état futur. 1.2 Nous prenons donc les séries de nombres aléatoires comme objet d'étude, mais nous les détachons de leurs applications pratiques afin d'en dégager les caractères universels. C'est ainsi que, sur le plan conceptuel, nous réfléchirons à ce que peuvent signifier les expressions « série de nombres aléatoires », voire « nombre aléatoire ». Par exemple, est-ce que «6,3» est un nombre aléatoire? Est-ce que la série « 4 2 6 4 » est aléatoire? Nous recenserons aussi différents aspects et différentes techniques pour tester le caractère aléatoire d'une série de nombres, d'une source de nombres supposément aléatoires. Chapitre §1.3 Hasard, nombres aléatoires et méthode Monte Carlo 2 En fait, au-delà du fait que les séries de nombres aléatoires imprègnent des portions significatives de notre économie et de notre culture, elles sont aussi, par elles-mêmes, un objet d'intérêt scientifique et un outil, qui ont donné lieu à plusieurs développements en statistique, en mathématiques et en sciences appliquées. Grâce aux plateformes informatiques, à présent accessibles à tous et efficaces de plus en plus, la manipulation de grandes séries de nombres, leur calcul, leur génération automatique même sont devenus monnaie courante et ont permis l'éclosion de méthodes de calcul et de procédés de solution originaux. C'est le cas de la « méthode Monte Carlo », une utilisation massive des capacités de calcul de l'ordinateur pour trouver des solutions numériques approximatives à des problèmes complexes. 1.3 Nous examinons donc les procédés informatiques destinés à « produire du hasard », c'est-à-dire les méthodes de génération par ordinateur de valeurs successives d'une variable aléatoire ayant des propriétés de distribution déterminées. Cet examen fait apparaître une richesse foisonnante d'idées, de principes généraux, d'astuces, et il permet de revoir les principales lois de distribution statistiques, notamment les lois uniforme, normale, binomiale, t de Student, pour ne citer que celles-là. 1.4 Le traitement d'une ou de plusieurs séries de nombres aléatoires peut obéir à différents buts. On peut s'interroger, par exemple, sur la présence de facteurs structurants dans les séries, facteurs dont l'opération contrecarre ou modère le caractère purement aléatoire qu'on s'attend d'y trouver. Le diagnostic d'un tel facteur passe par le test des propriétés statistiques de la série. On peut aussi vouloir découvrir, pour une série donnée, à quel mod...