Traitement numérique des signaux: 3e édition

Chapitre 5: Réponses fréquentielles

5 Réponses fréquentielles 5.1 Introduction Dans ce chapitre, notre attention se portera sur les réponses fréquentielles des systèmes linéaires invariants dans le temps (SLIT) . Puisque le numérateur et le dénominateur de toute fonction de transfert rationnelle peuvent tous deux être décomposés en facteurs du premier ordre à racines réelles et en facteurs du second ordre à racines complexes, nous nous pencherons plus particulièrement sur le calcul des modules, déphasages et délais de propagation de groupe de ces facteurs . Nous considérerons par la suite en détail quelques classes importantes de réponses fréquentielles et les fonctions de transfert dont elles découlent . Ainsi, nous étudierons les fonctions de transfert de type passe-tout, celles de type peigne et les fonctions de transfert RIF à déphasage linéaire . 5.2 Réponse fréquentielle d’un SLIT La réponse fréquentielle d’un SLIT présente en général une grande importance , et ce, plus particulièrement dans le cas où le système considéré est un filtre. Nous étudierons donc ici le calcul des modules, déphasages et temps de propagation de groupe (retards de groupe) des réponses fréquentielles des SLIT à partir de leurs fonctions de transfert . 5.2.1 Forme générale de la réponse fréquentielle d’un SLIT La réponse fréquentielle d’un SLIT stable peut être obtenue en posant, comme nous l’avons indiqué à la section 3 .6, z = ejw , dans sa fonction de transfert H(z) . Ainsi, la réponse fréquentielle H(ejw ) du SLIT est donnée par: H(ejω ) = H(ejω ) ejφ( ω) = HR (ejω ) + jHI(ejω ) (5 .2 .1) 162 Traitement numérique des signaux où |H(ejw)|, f(ejw), HR(ejw) et HI(ejw) sont respectivement le module, le déphasage, la partie réelle et la partie imaginaire de H(ejw) . De plus, w = WTS = (2pF)TS = 2pF/FS, où F est la fréquence et Ts=1/FS est la période d’échantillonnage . Toutes ces quantités ont déjà été définies au chapitre 1. Les relations suivantes découlent directement de l’équation 5 .2 .1: H(ejω ) = HR 2 (ejω ) + HI 2 (ejω ) (5 .2 .2) tan φ(ejω )     = HI(ejω ) HR (ejω ) (5 .2 .3a) Après simplification des facteurs communs à HI(ejw ) et HR(ejw ), cette dernière relation peut généralement être réécrite comme suit pour les valeurs de w différentes de celles qui annulent simultanément QI (ejw ) et QR (ejw ): tan φ(ejω )     = QI(ejω ) QR (ejω ) (5 .2 .3b) d’où: φ(ejω ) = arctan HI(ejω ) HR (ejω )       = arctan QI(ejω ) QR (ejω )       (5 .2 .4) Le temps de propagation de groupe (retard de groupe) t(ejw) est défini par: τ(ejω ) = −TS d φ(ejω ) d ω       (5 .2 .5) et l’on peut démontrer que ce dernier peut être exprimé sous la forme suivante: τ(ejω ) = −TS QR (ejω )Q 'I(ejω ) − Q 'R (ejω )QI(ejω ) QR 2 (ejω ) + QI 2 (ejω )       (5 .2 .6a) où: Q 'R (ejω ) = d QR (ejω ) dω , Q 'I(ejω ) = d QI(ejω ) dω (5 .2 .6b) Les exemples suivants illustrent l’utilisation de ces formules . Réponses fréquentielles 163 Exemple E5.2.1 Obtenir le module, le déphasage et le retard de groupe de la fonction de transfert causale suivante: H(z) = 1 z − 0 .37 La période d’échantillonnage est TS = 10–1s . Solution H(ejω ) = 1 ejω − 0 .37 = 1 cos(ω) − 0 .37 [ ]+ jsin(ω) Le module de H(ejw) est donné par: H(ejω ) = 1 cos(ω) − 0 .37 [ ] 2 + sin(ω) [ ] 2 = 1 1 .1369 − 0 .74 cos(ω) H(ejw) peut être exprimé en fonction de sa partie réelle et de sa partie imaginaire comme suit: H(ejω ) = 1 [cos(ω) − 0 .37] + jsin(ω)       [cos(ω) − 0 .37] − jsin(ω) [cos(ω) − 0 .37] − jsin(ω)       = cos(ω) − 0 .37 1 .1369 − 0 .74 cos(ω)       + j − sin (ω) 1 .1369 − 0 .74 cos(ω)       = HR ejω ( )+ jHI ejω ( ) Le déphasage f(ejw) et le retard de groupe t(jw) de cette fonction de transfert peuvent être respectivement obtenus comme suit: tan φ(ejω )     = − sin(ω) 1 .1369 − 0 .74 cos(ω)       cos(ω) − 0 .37 1 .1369 − 0 .74 cos(ω)       = − sin(ω) cos(ω) − 0 .37 = QI(ejω ) QR (ejω ) 164 Traitement numérique des signaux φ(ejω ) = arctan − sin(ω) cos(ω) − 0 .37       τ(ej...