Traitement numérique des signaux: 3e édition

Chapitre 8: Conception des filtres non récursifs

8 Conception des filtres non récursifs 8.1 Introduction Contrairement aux fonctions de transfert du domaine Z de type RII, les fonctions de transfert de type RIF n’ont pas d’équivalent dans le domaine S . Elles ne peuvent donc pas être obtenues par transformation des fonctions de transfert de ce domaine . Ainsi, les méthodes de conception des fonctions de transfert de type RIF leur sont propres . Dans ce chapitre, nous étudierons quelques-unes de ces méthodes choisies parmi celles qui sont le plus couramment utilisées . Nous commencerons par l’étude de la méthode fondée sur l’analyse de Fourier et l’usage de fonctions dénommées fenêtres temporelles ou plus simplement fenêtres . Cette méthode est analytique et peut être utilisée sans avoir nécessairement recours à un soutien informatique . Nous étudierons ensuite la méthode de l’échantillonnage en fréquence . D’autres méthodes plus algorithmiques qui requièrent l’usage d’ordinateurs seront aussi exposées . 8.2 Méthode des fenêtres Si la réponse fréquentielle idéale et non causale requise HINC(ejw), –p ≤ w ≤ p, la TFCI d’un signal discret donne la réponse impulsionnelle idéale et non causale hINC(m) correspondante selon: hINC (m ) = 1 2π HINC (ejω )ejmω dω −π π ∫ (8 .2 .1a) De plus, la TFC de hINC(m) permet d’écrire: HINC (ejω ) = hINC (m )e−jmω M → ∞ m = −M M ∑ (8 .2 .1b) 312 Traitement numérique des signaux Nous supposerons dans ce qui suit que HINC(ejw) est une fonction réelle et paire de w: HINC(ejw) = HINC(e–jw), ce qui implique, en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier, que hINC(m) est aussi une fonction réelle et paire de m: hINC(m) = hINC(–m) . La fonction de transfert HINC(z), dont la réponse fréquentielle est HINC(ejw), est donnée par la transformée en Z de hINC(m), c’est-à-dire par: HINC (z) = Y(z) X(z) = hINC (m )z−m M → ∞ m = −M M ∑ = . . . + hINC (−m )zm + . . . + hINC (−1)z1 + h(0) + hINC (1)z−1 + . . . + hINC (m )z−m + . . . (8 .2 .2) Cette fonction de transfert est idéale et non causale, ce qui est indiqué par l’indice INC. Elle comporte un nombre infini de termes. Un système caractérisé par la fonction de transfert de l’équation 8 .2 .2 aurait la réponse fréquentielle idéale spécifiée par l’équation 8.2.1. Un tel système est évidemment irréalisable en raison du nombre infini de multiplicateurs et de délais unités requis . Il faut donc tronquer la fonction de transfert idéale, à nombre fini de termes, pour la rendre réalisable. Le système ainsi obtenu a alors une réponse fréquentielle qui est une approximation de la réponse fréquentielle idéale spécifiée par l’équation 8.2.1. Nous effectuerons cette troncature de façon symétrique en ne conservant que les termes pour lesquels –M ≤ m ≤ M, où M est un entier fini. Ceci équivaut à multiplier la réponse impulsionnelle hINC(n) du système par une fonction fenêtre (ou fenêtre) rectangulaire de longueur (2M + 1) . On obtient alors la fonction de transfert HNC(z) qui est une approximation de la fonction de transfert idéale HINC(z) . Elle est donnée par l’équation 8 .2 .3: HNC (z) = Y(z) X(z) = h NC (m )z−m , M π 2        – Figure E8.2.3 Solution La réponse impulsionnelle idéale et non causale du filtre requis est: hINC (m ) = 1 2π ejmω cos(ω) dω −π/2 π/2 ∫ = 1 2π ejmω jm cos(ω) + sin(ω)     1 − m2        − π 2 π 2 = 1 2π ejm π/2 + e−jm π/2 1 − m2       = 1 2π 2 cos(mπ 2) 1 − m2       m ≠ ±1 Conception des filtres non récursifs 327 Pour m = 1, l’application de la règle de l’Hospital donne: 1 2π       d dm 2 cos (mπ 2)     d dm π(1 − m2 )     m =1 = − π 2 sin mπ 2       −2 m π m =1 = –π 2 −2π = 1 4 donc: hINC (m ) = cos(mπ 2) π(1 − m2 ) , m ≠ ±1 1 4 , m = ± 1        La fonction de transfert non causale correspondante est donnée par: HNC (z) = hNC (m ) m = −M M ∑ z−m , hNC (m ) = hINC (m ), − M ≤ m ≤ M 50 0 .5842 X − 21 ( ) 0 .4...