Éléments d'analyse complexe

Chapitre 5. Séries de puissances

Chapitre 5 SÉRIES DE PUISSANCES 5.1 Propriétés des séries de puissances Nous faisons ce chapitre brièvement à cause de la similitude de résultats sur les séries de puissances réelles et complexes. Une série de puissances est une série de la forme Preuve. Supposons L 0. Alors pour tout cercle Γ de centre zo et de rayon r < R, la série représente une fonction continue de z dans la région bornée par le cercle Γ. Preuve. Écrivons F(z) = SN(z) + RN(z), où F(z) est la série, Théorème 5.2.3, Une série de puissances représente une fonction continue en tout point intérieur à son cercle de convergence. C’est une conséquence immédiate des deux théorèmes précédents. 182 Séries de puissances Séries de puissances 183 Donc, la série converge uniformément vers f(z) pour tout z sur t ou à l’intérieur de Γ. Le théorème est donc prouvé. On appelle cette série la série de Taylor correspondant à f(z). 5.4 Remarques 1) Le cercle de convergence de la série est au moins aussi grand que le plus grand cercle de centre zo contenu dans le domaine d’analyticité de f(z). 2) Par conséquent, quand on sait que f(z) est analytique à l’intérieur d’un cercle C, il n’est pas nécessaire de vérifier la convergence de la série de Taylor. 3) Plus loin, nous prouverons que toute série de puissances représente une fonction analytique à l’intérieur de son cercle de convergence. 4) On peut donc dire que f(z) est analytique en un point zo si et seulement si f(z) peut être développée en une série de puissances convergente autour de ce point. 5) Autour du point zo = 0, la série de Taylor prend le nom de série de Maclaurin 184 Séries de puissances Séries de puissances 185 5.5 Série de Laurent Nous allons généraliser la série de Taylor en développant f(z) dans une couronne plutôt que dans un cercle. Théorème 5.5.1 Soit S une région bornée par deux cercles concentriques C1 et C2, de centre zo, et de rayons r1 et r2, avec ri < r2, Prenons une fonction f(z) analytique à l’intérieur de S et sur les deux cercles. Alors en tout point z à l’intérieur de S, f(z) peut être représentée par une série convergente de puissances positives et négatives de (z - zo) : Preuve. Prenons ζ sur C1 ou sur C2 et z entre C1 et C2, avec │z -zo│ = r, r1 < r < r2. 186 Séries de puissances puisque r1 < r1 │Rn│ → 0 quand n →∞ Nous avons alors la série désirée. Le théorème est démontré. Corollaire 5.5.2 En utilisant le théorème de Cauchy, on peut remplacer les intégrales sur C1 et C2 par des intégrales sur un unique contour simple fermé C contenu dans S et contenant zo. On écrit alors Séries de puissances 187 188 Séries de puissances 5.6 Remarques 1) Si f(z) est analytique partout à l’intérieur de C2, on est ramené à une série de Taylor car : 2) L’évaluation des cœfficients an et an est en général difficile si on veut faire les intégrales. Mais, plus loin, nous verrons que le développement en série d’une fonction est unique. On peut alors utiliser des moyens plus faciles comme l’exemple suivant nous le montrera. 3) Exemple. Développons en série de Laurent, en puissances de z, dans la couronne 1 < │z│ < 2, la fonction Première solution En décomposant en fractions partielles. Notons que : Séries de puissances 189 190 Séries de puissances 5.7 Intégration et différentiation des séries de puissances, Nous allons montrer qu’une série de puissances peut être intégrée ou dérivée terme à terme pour nous donner une fonction analytique. Théorème 5.7.1 - Intégration d’une série de puissances Soft Γ un contour intérieur au cercle de convergence C, de rayon R, d’une série de puissances. Prenons h(z) définie et continue sur Γ. La série obtenue en multipliant chacun des termes de la série par h(z) peut être intégrée terme à terme sur Γ. En d’autres mots si Séries de puissances 191 Preuve. Le problème est de pouvoir entrer le signe de l’intégrale à l’intérieur de la sommation. On peut écrire pour N suffisamment grand. Cette quantité tend vers 0 quand N → ∞t le théorème est démontré. Corollaire 5.7.2 Si zo est le point initial de г et ζ son point final et si h(z) = 1, alors on obtient Théorème 5.7.3 Une série de puissances représente une fonction analytique à tout point intérieur à son cercle de convergence. 192 Séries de puissances Preuve. Prenons ζ un point intérieur au cercle de convergence C de la série de puissances et traçons un cercle Γ de centre ζ entièrement contenu à l’intérieur de C. F(z) est analytique à l’intérieur et sur Γ. Alors d’après le théorème de Cauchy, et le théorème 5.7.1: 5.8 Unicité des développements en série Nous allons maintenant montrer que le développement en série de puissances d’une fonction analytique est unique. En d’autres termes, la série convergente vers une fonction est la série de Taylor de cette fonction. On peut dire la même chose de la série de Laurent. Théorème 5.8.1 Si une série de puissances converge vers une fonction f(z) en tout point intérieur à un cercle C, │z - zo│ = R, alors cette série est la série de Taylor de f(z) en puissances de (z - zo). Preuve. Considérons Séries de puissances 193 et en appliquant maintenant la formule de Cauchy pour les dérivées (Th. 4.7.3). Notons bien que le rayon de convergence reste le même. Corollaire 5.7.5 Par application successive de ce processus on obtient : 194 Séries de puissances Théorème 5.8.2 Si dans une région annulaire S de centre zo, une fonction a le développement où Γ est un contour simple fermé à l’intérieur de S et contenant zo. C’est-à-dire que ce développement est la série de Laurent de f(z) en puissances de (z - zo) pour la région S. Séries de puissances 195 Preuve. La région S est bornée par deux cercles concentriques C1 et C2 de rayons r1 < r2. Prenons Γ un contour simple fermé circulaire autour de zo contenu dans S et de rayon r. 196 Séries de puissances Le théorème est démontré. Il dit que tout développement en série de puissances positives et négatives d’une fonction est nécessairement la série de Laurent de la fonction. Ce théorème est extrêmement utile, puisqu’il permet de trouver le développement en série de Laurent sans calculer les intégrales. convergent vers la même fonction f(z) dans un voisinage de zo, alors les deux séries sont identiques. En d’autres termes an = bn. Preuve. D’après le théorème 5.8.1 : Corollaire 5.8.4 Si une série de puissances converge vers 0 en tout point d’un voisinage de zo, alors cn = 0 pour tout n. On voit ainsi que f(z) = 0 dans tout son cercle d’analyticité autour de zo. 5.9 Compléments et remarques a) Si deux séries de puissances Séries de puissances 197 198 Séries de puissances Si r3 - │z - zo│ est le plus grand rayon où g(z) ≠ 0, on aura ρ ≥ min (r1, r2, r3). Cette dernière proposition nous dit que l’on peut effectuer une division par une série. Exemple. Séries de puissances 199 200 Séries de puissances Exercices 1. Déterminer le rayon de convergence des séries données : Séries de puissances 201 202 Séries de puissances Séries de puissances 203 204 Séries de puissances Séries de puissances 205 Réponses 206 Séries de puissances Séries de puissances 207 208 Séries de puissances Séries de puissances 209 210 Séries de puissances ...