Éléments d'analyse complexe

Chapitre 6. Calcul des résidus

Chapitre 6 CALCUL DES RÉSIDUS 6.1 Points singuliers Jusqu’à maintenant nous n’avons considéré les fonctions qu’en des points et des domaines où elles étaient analytiques. Dans ce chapitre nous allons étudier les "points singuliers" d’une fonction. Un point zo est un point singulier de f(z) si f(z) n’est pas analytique à zo, bien que dans chaque voisinage de zo il y ait au moins un point où la fonction est analytique. Nous allons restreindre notre étude aux points singuliers isolés. Un point singulier zo est isolé si f(z) n’est pas analytique à zo mais l’est cependant à tout autre point d’un voisinage de zo, c’est-à-dire dans un voisinage annulaire. Ainsi la fonction (z-1)-1 a un point singulier isolé à 1. Mais la fonction II arrive parfois qu’il soit facile de corriger la fonction au seul point singulier isolé en redéfinissant la fonction en ce point. On dit alors que le point singulier est amovible. Par exemple : 212 Calcul des résidus 6.2 Point singulier essentiel . Pôle . Zéro Une bonne façon de présenter les points singuliers, c’est de le faire avec la série de Laurent. Une série de Laurent peut s’écrire La première somme s’appelle la partie principale de la série; la seconde somme s’appelle la partie analytique. Si le nombre des bn différents de zéro est infini, on dit qu’il y a un point singulier essentiel, à zo. Le terme point singulier essentiel peut aussi s’employer pour un point singulier qui n’est pas isolé. Si le nombre des bn différents de zéro est fini et égal à N, on dit que la fonction a un pôle d’ordre N, à zo. Regardant la série correspondant à une fonction avec un pôle d’ordre n à zo : Dans ce voisinage λ(z) est donc différent de 0. Puisque (z - zo)m est aussi différent de 0 pour z ≠ zo, la fonction f(z) = (z - zo)m λ(z) sera donc différente de 0 dans le voisinage considéré. Solitude et infinité d’un pôle En considérant l’expression Calcul des résidus 213 6.3 Comportement d’une fonction autour d’un point singulier et autour d’un zéro a) Théorème 6.3.1 - La solitude d’un zéro Soit f(z) analytique dans un voisinage de zo, et supposons que les coefficients du développement en série de Taylor ne sont pas tous nuls. Si zo est un zéro de f(z), alors il existe un voisinage de zo qui ne contient pas d’autre zéro de f(z). En d’autres termes zo est un zéro isolé. Preuve. On peut écrire où λ(zo) ≠ 0 et λ(z) est analytique. À cause de la continuité de f(z), il existe un voisinage de zo où 214 Calcul des résidus Calcul des résidus 215 Théorème 6.3.3 - Théorème de Casorati - Weierstrass Si zo est un point singulier essentiel de f(z), alors dans tout voisinage de zo, f(z) peut s’approcher d’aussi près que l’on veut de n’importe quelle valeur a donnée d’avance. Preuve. Considérons une valeur quelconque a. Si f(z) = a admet des racines dans tout voisinage de zo, si petit soit-il, le théorème est établi. Si f(z) = a n’admet pas une infinité de racines dans le voisinage de a, il existe un voisinage V assez petit pour que f(z) - a ≠ 0. Dans ce cas la fonction 216 Calcul des résidus C’est-à-dire │f(z) - a│ 0. Alors Log (1 + h(z)) = In │1 + h(z)│ + i arg (1 + h(z)), avec -π 0. Calcul des résidus 227 Puisque C est fermé avec z(β) = z(α) on aura Log (1 + h(z(β))) - Log (1 + h(z(α))) = 0 ou ∆c log (1 + h(z)) = 0. L’idée importante de cette preuve, c’est l’existence d’une branche du logarithme où log (1 + h(z)) est continue. La continuité est ici assurée par le fait que 1 + h(z) est entièrement à droite de l’axe des y. La courbe ne peut donc pas entourer l’origine, où il y aurait...