Introduction à l'analyse fonctionnelle

Chapitre 3_Espace métrique

CHAPITRE III ESPACE MÉTRIQUE Depuis le début du siècle, en analysant des théories sur des sujets apparemment bien différents, on a observé des ressemblances frappantes tant dans le contenu qu’au niveau du développement. Les notions d’espace métrique et d’espace normé en sont des exemples parmi les plus importants. Dans les paragraphes 1 et 2, nous apporterons beaucoup d’exemples d’espaces métriques et d’espaces normés. Nous étudierons la convergence dans le paragraphe 3 pour être amenés ainsi aux espaces métriques complet et aux espaces de Banach. Une première application fondamentale sera le théorème de Picard-Lindelöf si utile pour des théorèmes d’existence et d’unicité ou pour le calcul numérique (paragraphe 4). Ce théorème ne s’appliquant qu’aux espaces complets, il est utile de savoir qu’on peut toujours compléter un espace métrique (paragraphes 5 et 10). Un autre théorème utilisable dans les théorèmes d’unicité est celui de Baire sur les espaces métriques de première et de deuxième catégorie (paragraphe 6). Dans la théorie de l’approximation, les espaces séparables (paragraphe 7) sont très importants. Nous donnerons une première démonstration du théorème d’approximation polynomiale de Weierstrass. La notion d’espace métrique compact, développée au paragraphe 8, a une portée fondamentale dans plusieurs domaines des mathématiques. Nous y verrons en particulier les théorèmes de Dini, de Tietze et d’Arzela-Ascoli. Enfin nous aborderons les espaces normés équivalents (paragraphe 9), les espaces normés de dimension finie (paragraphe 11) et les propriétés d’une somme directe de deux espaces normés (paragraphe 12). 78 Introduction à l’analyse fonctionnelle 3.1 ESPACES MÉTRIQUES, DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES Ce paragraphe est consacré à une introduction à l’espace métrique général que nous illustrerons par de nombreux exemples. DÉFINITION 3.1.1. Soit X un ensemble quelconque non vide. Une semi-métrique, ou semi-distance, sur X est une application Espace métrique 79 80 Espace métrique Espace métrique 81 Imposons maintenant une condition plus restrictive à une semimétrique. DÉFINITION 3.1.4. Soit X un ensemble quelconque non vide. Une métrique ou encore une distance sur X est une semi-métrique d : X × X → R, telle que D5. d(x,y) = 0 si et seulement si x = y. L’ensemble X muni d’une métrique d s’appelle espace métrique, noté par (X,d). 82 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espace métrique 83 84 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espace métrique 85 86 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espace métrique 87 pour tout xl, yl Є X1, s’appelle une isométrie. On dit dans ce cas que les espaces métriques (X1, d1) et (X2, d2) sont isométriques. Une isométrie préserve les distances entre les paires d’éléments correspondants, i.e. elle préserve la métrique de l’espace. Montrons, enfin, qu’on peut construire un espace métrique à partir d’un espace semim étrique. 88 Introduction à l’analyse fonctionnelle 3.2 ESPACES NORMES. DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES Nous étudions maintenant un cas particulier d’espace métrique, l’espace linéaire normé. Sommairement c’est un espace linéaire où la distance d’un élément quelconque à l’origine satisfait d(λx,o) = |λ|d(x,o) et où la translation est une isométrie. Ces espaces ont donc une structure d’espace linéaire et une structure d’espace métrique reliées entre elles. Espace métrique 89 90 Introduction à l’analyse fonctionnelle Un espace linéaire X muni d’une norme s’appelle espace normé, noté par (X, || ||) Quand la norme ne doit pas être précisée, on va dénoter, en bref, un espace normé par X. Espace métrique 91 Espace métrique 93 94 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espace métrique 95 96 Introduction à l’analyse fonctionnelle métriques induites respectivement par les normes || ||1 et || ||2, sont isométriques (voir 3.1.17). Donc une isométrie d’espaces normés pr...