Hasard, nombres aléatoires et méthode Monte Carlo

Chapitre 7 L'étude des phénomènes quantitatifs par évaluation numérique

L'étude des phénomènes quantitatifs par évaluation numérique 7.1 Les phénomènes de la nature, d'ordre physique ou biologique, ne sont pas essentiellement quantitatifs; ils se définissent en eux-mêmes et nous y sommes confrontés globalement, à la fois comme êtres participant à cette nature et comme scientifiques. Néanmoins, l'approche quantitative est un outil privilégié de l'étude scientifique des phénomènes. Elle consiste à repérer les dimensions d'un phénomène (extension spatiale, chaleur, durée, fréquence, co-apparitions, etc.) et à les convertir en grandeurs, intensités ou nombres. Grâce à elle, nous pouvons transcrire « sur papier » le phénomène étudié, le traiter symboliquement et parvenir peut-être à un modèle, une explication, voire un procédé nous permettant de l'assujettir et le contrôler à volonté. Personne ne s'étonnera que les nombres aléatoires, artificiellement produits, que nous avons étudiés servent à la solution de problèmes d'évaluation en statistique, par exemple pour décider si les données de deux groupes expérimentaux reflètent une différence systématique ou hautement improbable entre leurs niveaux respectifs. C'est par une méthode semblable, mais après une démarche plus compliquée, que la méthode Monte Carlo est appliquée aussi à l'étude des phénomènes quantitatifs ou à l'étude des modèles quantitatifs des phénomènes. Nous tâcherons d'en donner une idée dans les paragraphes suivants. La méthode Monte Carlo est une méthode basée sur l'utilisation de nombres aléatoires par informatique dont le but est de trouver, mesurer ou vérifier une solution d'un modèle quantitatif ou de décrire son comportement simulé et ses états transitoires. Aussi baptisée « méthode des essais statistiques », Kleijnen (1974, p. 6) la définit comme toute technique appliquée à la solution d'un modèle quantitatif et utilisant des nombres aléatoires. Il existe plusieurs champs d'application de la méthode Monte Carlo, que nous examinons à présent. 7.2 Intégrales et autres problèmes déterministes. Il peut paraître surprenant que l'évaluation d'intégrales constitue la principale application de la méthode Monte Carlo, surprenant en ce qu'on utilise du hasard afin Chapitre §7.3 Hasard, nombres aléatoires et méthode Monte Carlo 150 de mesurer une grandeur fixe. C'est aussi l'avis de Hammersley et Handscomb (1964), selon qui « every Monte Carlo computation that leads to quantitative results may be regarded as estimating the value of a multiple integral » (p. 50). Il existe différentes sortes d'intégrales, et mieux vaut une solution analytique et exacte lorsqu'elle se trouve. L'estimation Monte Carlo qui, on s'en doute, donnera une solution seulement approximative s'applique lorsque la fonction à intégrer n'est pas connue mais se manifeste uniquement par une quantité observable, une variable: on parle alors d'évaluation (ou intégration) Monte Carlo par variable. Même lorsque la fonction est connue, celle-ci peut être très complexe et défier une approche exacte; les méthodes d'intégration numérique (voir par exemple Gerald et Wheatley 1984) sont alors disponibles, dans le rang desquelles il est légitime de placer la méthode Monte Carlo: on retrouve ici certaines techniques d'intégration Monte Carlo par manipulation de fonction. Enfin, pour des intégrales d'ordre élevé (en Rn , n > 1), l'échantillonnage Monte Carlo peut représenter la seule solution pratique. Les autres applications de la méthode Monte Carlo, que nous passerons maintenant en revue, se ramènent d'une manière ou l'autre à un problème d'intégration. 7.3 Études d'échantillonnage statistique. La méthode Monte Carlo est l'outil naturel pour étudier les objets statistiques, tels les moments, les centiles ou les extrêmes de fonctions de variables aléatoires. Soit les variables {xi} d'une distribution f(x) donnée, et: une fonction d'un échantillon de n v.a. En se basant sur m valeurs échantillonnées de y, on utilisera moy(yk ), y(r:m) où r = [P(m+1)+½] , et y(man) pour estimer respectivement le moment à l'origine µ'k(y), le centile y100p et le maximum max y. Fondamentalement, il s'agit d'intégrales multiples; la plupart sont analytiquement intraitables ou très difficiles, a fortiori lorsqu'il...