Ext1 localement analytique et compatibilité local-global

On construit une famille de reprèsentations localement analytiques indècomposables de ${\rm GL}_3(\Bbb{Q}_p)$ toutes contenant ${\rm Alg}\otimes{\rm Steinberg}$ en sous-objet où Alg est une reprèsentation algèbrique irrèductible fixèe et Steinberg la reprèsentation spèciale lisse. Soit $\rho_p$ une reprèsentation $p$-adique semi-stable de dimension $3$ de ${\rm Gal}(\overline{\Bbb{Q}_p}/\Bbb{Q}_p)$ dont la reprèsentation de Weil-Deligne associèe correspond à Steinberg par la correspondance de Langlands locale classique et dont la filtration de Hodge est non critique. Lorsque $\rho_p$ provient d’une reprèsentation automorphe $\pi$ de $G(\Bbb{A}_{\Bbb{Q}})$ (pour un groupe unitaire compact $G_{/\Bbb{Q}}$ dèployè en $p$) et $U^p\subset G(\Bbb{A}_{\Bbb{Q}}^{\infty,p})$ est un niveau hors $p$ fixè tel que $\pi$ est l’unique reprèsentation de son $L$-paquet global vèrifiant $\pi^{U^p}\ne 0$, on montre qu’une seule des reprèsentations localement analytiques de la famille ci-dessus apparaît dans le sous-espace Hecke-isotypique associè de la cohomologie complètèe en niveau $U^p$. On conjecture que cette reprèsentation de ${\rm GL}_3(\Bbb{Q}_p)$ ne dèpend que de la filtration de Hodge sur le $(\varphi,N)$-module filtrè $D_{\rm st}(\rho_p)$ et qu’elle la dètermine complètement.