Une introduction à la biostatistique

Chapitre 13. Échantillons appariés

Chapitre 13 Échantillons appariés Dans ce chapitre, nous comparons les moyennes de deux populations dépendantes en utilisant des intervalles de confiance et des tests d’hypothe ̀se. Des exemples typiques d’échantillons dépendants sont des mesures effectuées sur un individu ≪ avant≫ et ≪ après≫ un certain traitement : le poids avant et après une diète, la pression artérielle avant et après un exercice physique, etc. D’autres exemples d’ensembles de données dépendants sont les mesures effectuées sur le même individu en utilisant deux traitements différents. Dans chaque cas, les observations sont prélevées en paires, et un ensemble constitue un ≪ échantillon apparié≫. 13.1 Intervalles de confiance pour µD Soit (X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn) des observations appariées faites sur n individus avant et après un certain traitement (ou lors de l’utilisation de deux traitements différents). Nous supposons que X1, X2, . . . , Xn est un échantillon aléatoire d’une population dont la moyenne est notée par µX et que Y1, Y2, . . . , Yn est un échantillon aléatoire d’une population dont la moyenne est notée par µY . Nous voulons comparer µX et µY en calculant un intervalle de confiance pour la différenceµD = µX − µY . Si cet intervalle contient seulement des valeurs positives, nous pouvons dire que µX est plus grande que µY avec un certain niveau de confiance. D’autre part, si l’intervalle contient seulement des valeurs négatives, nous pouvons conclure que µX est plus petite que µY avec un certain niveau de certitude. Si l’intervalle contient des valeurs positives et des valeurs négatives, aucune conclusion ne peut être tirée. 194 Prévoir l’imprévisible – Une introduction à la biostatistique Premièrement, nous calculons les différences D1 = X1 − Y1, D2 = X2 − Y2, . . . , Dn = Xn − Yn. Ces différences constituent un échantillon aléatoire d’une population dont la moyenne est µD. Cet échantillon aléatoire est utilisé pour tirer des conclusions concernant µD. Nous notons par D̄ la moyenne de l’échantillon et par S2 D la variance de l’échantillon du jeu de données des différences, c’est-à-dire D̄ = 1 n n X i=1 Di et S2 d = 1 n − 1 n X i=1 (Di − D̄)2 . Nous notons par ¯ d et s2 d les valeurs observées de D̄ et S2 d. En supposant que les différences D1, D2, . . . , Dn suivent une loi normale, l’intervalle de confiance à un seuil de 100(1 − α)% pour µD est donné par la formule (10.7) :¯ d ± t  sd √ n  où t est la valeur trouvée dans le tableau 17.4 telle que P(−t ≤ T ≤ t) = 1 − α et T est une variable aléatoire suivant une loi T(n − 1). Exemple 13.1. Une des façons courantes de mesurer la fonction respiratoire est le VEMS, le volume expiratoire maximal à la seconde (le volume total d’air soufflé en une seconde). Le VEMS est différent chez les hommes et les femmes et diminue avec l’âge, avec un maximum de 4,5 litres à l’âge de 25 ans. L’utilisation du tabac accélère cette diminution. Les effets de la cigarette sur la diminution du VEMS sont étudiés dans [43]. Dans cet exemple, nous voulons démontrer que l’arrêt de fumer améliore la fonction respiratoire dans une période de 3 mois. Le tableau suivant présente les valeurs du VEMS pour 9 hommes trentenaires avant qu’ils n’arrêtent de fumer (la mesure x) et 3 mois après qu’ils aient arrêté (la mesure y), ainsi que les différences d = x − y : xi (VEMS avant) yi (VEMS après) Différence di = xi − yi 2,94 4,22 -1,28 2,90 4,12 -1,22 3,11 4,35 -1,24 2,85 4,09 -1,24 2,93 4,15 -1,22 3,00 4,29 -1,29 2,93 4,18 -1,25 3,03 4,29 -1,26 3,13 4,33 -1,2 Échantillons appariés 195 Après...