Une introduction à la biostatistique

Chapitre 7. Variables aléatoires continues

Chapitre 7 Variables aléatoires continues Dans le chapitre 6, nous avons étudié les variables aléatoires discrètes, c’est-à-dire des variables à image finie ou dénombrable. Dans ce chapitre, nous considérerons des variables qui peuvent prendre des valeurs dans un intervalle de nombres réels. De telles variables sont nommées continues . Quelques exemples de variables aléatoires continues sont la longueur, l’aire, le volume, la pression, la température ou la masse. Ce chapitre se conclura par une introduction à la loi normale, qui joue un rôle important en statistique. 7.1 Définition Pour spécifier les probabilités associées aux valeurs d’une variable aléatoire continue X, nous utilisons sa fonction de répartition qui est définie comme F(x) = P(X ≤ x) où x est un nombre réel. Pour les variables aléatoires discrètes, la fonction de répartition est une fonction en escalier non décroissante (voir la figure 6.2, p. 64). Dans le cas d’une variable aléatoire discrète X, la somme des probabilités associées aux valeurs de X est effectuée en étapes pour calculer F(x). Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la fonction F n’a pas de sauts et elle se cumule de façon continue. La définition suivante découle de ce fait. Soit X une variable aléatoire avec une fonction de répartition F. La variable aléatoire X est continue si F est une fonction continue. Sa fonction de densité de probabilité est définie par : f(x) =  F′ (x), si F′ (x) existe, 0, sinon, où F′ est la dérivée de F. Autrement dit, la fonction f représente le taux 76 Prévoir l’imprévisible – Une introduction à la biostatistique auquel les probabilités se cumulent. La forme du graphique de la fonction de densité f se nomme la loi de probabilité de X. La fonction f a les propriétés suivantes : f(x) ≥ 0 pour tous x, Z ∞ −∞ f(x) dx = 1. En utilisant le théorème fondamental du calcul, nous obtenons une autre interprétation de la densité : P(a 0. Il peut être démontré que si X est une variable aléatoire normale de paramètres µ et σ, alors E(X) = µ et Var(X) = σ2 . Nous utilisons la notation X ∼ N(µ, σ2 ) lorsque X suit une loi normale avec une moyenne µ et une variance σ2 . Propriétés d’une densité normale : – Le graphique de la densité d’une variable aléatoire normale est une courbe symétrique, en forme de cloche, centrée autour de sa moyenne µ (voir la figure 7.3). Variables aléatoires continues 79 Figure 7.3 Une densité normale – En utilisant la méthode de substitution avec z = (x−µ)/σ, nous obtenons Z µ+k σµ−k σ 1 σ √ 2 π e− 1 2 (x−µ σ ) 2 dx = Z k −k 1 √ 2 π e−z2 /2 dz (7.1) Peu importent les valeurs de µ et σ, la probabilité d’obtenir une valeur qui est à k écarts-types de la moyenne est toujours la même (voir la figure 7.3 pour une représentation graphique). – La probabilité que X soit à 1 écart-type de la moyenne est approximativement 68%. La probabilité que X soit à 2 écarts-types de la moyenne est environ 95%. La probabilité que X soit à 3 écarts-types de la moyenne est approximativement 99,7%. – Une variable aléatoire normale Z avec une moyenne de 0 et une variance de 1 est appelée la normale centrée et réduite. Sa densité est donnée par : f(z) = 1 √ 2 π e−z2 /2 , −∞ 45) = 1 − P(X ≤ 45) = 1 − Φ  45 − 40 3  = 1 − Φ(1,67) = 1 − 0,9525 = 0,0475. (b) La probabilité qu’un poisson choisi au hasard parmi cette cohorte mesure entre 37 cm et 45 cm est égale à P(37 1,96) (b) P(Z −2,35) (f) P(−2,23 105) (b) P(X 90) (f) P(82,5 x0) = 0,05 (b) P(X x0) = 0,99 (f) P(|X − 100| > 6 x0) = 0,05. Si vous avez accès à un logiciel de calcul statistique, utilisez un ordinateur pour déterminer les quantités ci-dessus et comparez ces...