Éléments d'algèbre linéraire

Chapitre 4 : Opérateurs linéaires

CHAPITRE IV OPÉRATEURS LINÉAIRES§ 4.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES La notion d'opérateur linéaire est fondamentale en mathématiques. En fait, plusieurs sujets tels l'algèbre linéaire et l'analyse fonctionnelle se sont développés par le biais des opérateurs linéaires. De plus, sous certaines conditions, les opérateurs linéaires peuvent servir à l'approximation et sont en cela utiles pour les applications. 4.1.1 Définition. Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps C. Une application T : X → Y est additive si pour tout x1, x2 Є X, on a T(x1 + x2) = T(x1) + T(x2). Une application T : X → Y est homogène si pour tout x Є X et λ Є C, on a T(λx) = λT(x). Une application T : X → Y est linéaire si elle est additive et homogène. Dans la littérature on retrouve aussi la notion d'application linéaire sous le nom de transformation linéaire ou d'opérateur linéaire. On utilisera par la suite le nom d'opérateur linéaire. Notons que si T : X → Y est un opérateur linéaire, alors T(o) = o, c'est-à-dire l'image du vecteur zéro de X est le vecteur zéro de Y. En effet, puisque 190 Éléments d'algèbre linéaire T(o) + o = T(o) = T(o + o) = T(o) + T(o), on déduit immédiatement que T(o) = o. On donne maintenant des critères équivalents pour vérifier si une application est un opérateur linéaire. Remarque 1. Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps C et T : X → Y une application. Les énoncés suivants sont équivalents : Exemple 1. Soient X et Y des espaces linéaires sur le même corps. L'application O : X → Y définie pour x Є X par 0(x) = o, est un opérateur linéaire. C'est l'opérateur nul. Exemple 2. Soit X1 un sous-espace linéaire de X. L'injection canonique ε : X1 → X définie pour x Є X1 par e(x) = x, est un opérateur linéaire. Il est simple de vérifier que T est un opérateur linéaire. On montrera dans la section 5 de ce chapitre que tout opérateur linéaire entre espaces linéaires de dimensions finies peut être donné sous cette forme. Opérateurs linéaires 191 Exemple 3. Tout isomorphisme d'espaces linéaires est un opérateur linéaire. 192 Éléments d'algèbre linéaire où a et R sont des scalaires fixes. Il est évident que T est un opérateur linéaire si et seulement si α = β = O. Exemple 7. Soient X un espace linéaire sur le corps C et λ Є C. L'application Tλ. : X → X définie pour x Є X par est un opérateur linéaire. C'est en fait l'opérateur linéaire qui donne la représentation régulière de X dans la base {1, i}. Cet opérateur est appelé une homothétie de rapport λ de l'espace linéaire X. Si X est un espace linéaire tel que dim(X) = 1, alors tout opérateur linéaire de X vers X est une dilatation. Opérateurs linéaires 193 Exemple 10. Soient E un espace euclidien et E1 un sous-espace linéaire de E. L'opérateur P de la projection orthogonale de E sur E1 est un opérateur linéaire (voir théorème 3.8.4). est un opérateur linéaire. T est appelé l'opérateur intégral de Fredholm et k le noyau de Fredholm. Dans le cas particulier où l'on considère l'espace linéaire des fonctions intégrables sur [0, ∞] ainsi que la fonction k définie pour t, u Є [a, b] par k(t, u) = e-tu , on obtient qui est la transformée de Laplace de la fonction f.§ 4.2 LE NOYAU ET L'IMAGE D'UN OPÉRATEUR LINÉAIRE Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps C. 194 Éléments d'algèbre linéaire Opérateurs linéaires 195 T et la dimension de T(X) est le rang de T que...