Éléments d'algèbre linéraire

Table des matières

TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS ..................................................................................xi LISTE DE NOTATIONS ........................................................................xv CHAPITRE I Espaces linéaires ........................................................... 1 1.1 Définitions et propriétés générales .................................................. 1 1.2. Combinaisons linéaires, dépendance et indépendance linéaire ............................................................................................. 9 1.3 Base et dimension d'un espace linéaire ........................................ 15 1.4 Isomorphismes d'espaces linéaires ............................................... 31 1.5 Sous-espaces linéaires .................................................................. 35 1.6 Intersection et somme de sous-espaces linéaires ......................... 46 1.7 Espaces linéaires quotients ........................................................... 57 Exercices ............................................................................................. 61 CHAPITRE Il Algèbres linéaires ....................................................... 69 2.1 Définitions et propriétés générales ................................................ 69 2.2 Quelques exemples d'algèbres linéaires ....................................... 74 2.3 Polynômes annihilateurs ................................................................ 87 2.4 Constantes de structure d'une algèbre linéaire ............................. 90 2.5 L'algèbre des quaternions .............................................................. 99 2.6 Le théorème de Frobenius ........................................................... 105 2.7 Algèbres non associatives ........................................................... 113 Exercices ........................................................................................... 119 CHAPITRE III Espaces euclidiens .................................................. 125 3.1 Produit scalaire ............................................................................ 125 3.2 L'inégalité de Cauchy-Schwarz .................................................... 130 3.3 Orthogonalité ............................................................................... 132 viii Table des matières 3.4 Espaces normés - Espaces métriques ........................................136 3.5 Le déterminant de Gram ..............................................................142 3.6 Systèmes orthonormaux ..............................................................146 3.7 Décompositions orthogonales d'un espace euclidien ..................157 3.8 Projection orthogonale d'un vecteur sur un sous-espace linéaire .........................................................163 3.9 Application - La méthode des moindres carrés ...........................168 3.10 Application - Codes linéaires .....................................................172 Exercices ...........................................................................................181 CHAPITRE IV Opérateurs linéaires ................................................189 4.1 Définitions et propriétés générales ..............................................189 4.2 Le noyau et l'image d'un opérateur linéaire .................................193 4.3 L'espace linéaire La(X,Y) .............................................................198 4.4 L'algèbre linéaire La(X) ................................................................201 4.5 Matrices et opérateurs linéaires ...................................................203 4.6 Formes linéaires ..........................................................................211 Exercices ...........................................................................................220 CHAPITRE V Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire .............................................229 5.1 Sous-espaces invariants par rapport à un opérateur linéaire ........................................................................................229 5.2 Valeurs et vecteurs propres .........................................................236 5.3 Propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres .............247 5.4 Sous-espaces propres d'un opérateur linéaire ............................251 Exercices ...........................................................................................256 CHAPITRE VI Matrices polynômiales ............................................263 6.1 Définitions et propriétés générales ..............................................263 6.2 L'algorithme de division - Le théorème de Cayley-Hamilton .......................................................................267 6.3 Matrices polynômiales régulières ................................................273 6.4 Transformations élémentaires sur les λ-matrices ........................276 6.5 La forme canonique de Smith-MacMillan d'une λ-matrice ...........279 Tables des matières ix 6.6 Facteurs invariants d'une λ-matrice ............................................ 283 6.7 Diviseurs élémentaires d'une λ-matrice ...................................... 288 Exercices ........................................................................................... 295 CHAPITRE VII Formes normales et formes de Jordan d'une matrice ........................................ 301 7.1 Polynômes annihilateurs et polynôme minimal d'une matrice ............................................................................... 301 7.2 Facteurs invariants et diviseurs élémentaires d'une matrice ............................................................................... 306 7.3 La première forme normale d'une matrice .................................. 312 7.4 La deuxième forme normale d'une matrice ................................. 314 7.5 Les formes de Jordan d'une matrice ........................................... 316 7.6 Quelques remarques concernant les formes normales et les formes de Jordan ............................. 320 7.7 Application aux équations différentielles ..................................... 323 Exercices ........................................................................................... 328 CHAPITRE VIII Opérateurs linéaires sur un espace euclidien ........................................ 335 8.1 Formes linéaires sur un espace euclidien ................................... 335 8.2 Opérateur adjoint ......................................................................... 337 8.3 Opérateurs auto-adjoints ............................................................. 343 8.4 Opérateurs unitaires .................................................................... 350 8.5 Opérateurs normaux ................................................................... 359 8.6 Opérateurs auto-adjoints non négatifs et positifs ........................ 366 8.7 Projections ................................................................................... 373 8.8 Décomposition spectrale d'un opérateur normal ......................... 381 Exercices ........................................................................................... 391 CHAPITRE IX Formes bilinéaires ................................................... 397 9.1 Définitions et propriétés générales .............................................. 397 9.2 Forme canonique d'une forme bilinéaire ..................................... 409 9.3 Formes quadratiques .................................................................. 414 9.4 Forme normale d'une forme quadratique .................................... 425 9.5 Les invariants d'une forme quadratique ...................................... 440 x Table des matières 9.6 Formes bilinéaires sur un espace euclidien ................................446 9.7 Application. Le groupe de Lorentz ...............................................452 9.8 Application à la géométrie. Surfaces quadratiques .....................463 9.9 Application à la statistique. Formes quadratiques de variables aléatoires normales ..................................................479...