Éléments d'algèbre linéraire

Chapitre 7 : Formes normales et formes de Jordan d'une matrice

CHAPITRE VII FORMES NORMALES ET FORMES DE JORDAN D'UNE MATRICE§ 7.1 POLYNÔMES ANNIHILATEURS ET POLYNÔME MINIMAL D'UNE MATRICE Pour C un corps, M(n,n,C) est une algèbre linéaire sur C de dimension n2 avec unité I. Si on considère alors A Є M(n,n,C), les éléments Une matrice A possède évidemment plusieurs polynômes annihilateurs. Remarquons en particulier que le polynôme caractéristique de A, c'est-à-dire f(λ) = det(λ| - A), est un polynôme annihilateur de A (voir le théorème de Cayley-Hamilton). Notons par PA l'ensemble des polynômes annihilateurs de la matrice A. 302 Éléments d'algèbre linéaire Aussi, puisque dans l'algèbre linéaire C[λ] tout idéal est principal (voir exemple 2, proposition 4, section 2.2), il existe un polynôme g(λ) Є C[λ] tel que PA = Id[g] et tout polynôme annihilateur de A est divisible par g ; on sait que g est un polynôme normalisé de degré minimal et unique avec cette propriété. 7.1.1 Définition. Soit A Є M(n,n,C). Le polynôme annihilateur g de A qui engendre l'idéal PA s'appelle le polynôme minimal de A. Remarque 1. Le polynôme minimal de A divise le polynôme caractéristique de A, puisque le polynôme caractéristique de A est un polynôme annihilateur de A et que le polynôme minimal divise tout polynôme annihilateur. Le théorème suivant donne la relation exacte entre le polynôme minimal et le polynôme caractéristique d'une matrice. Formes normales et formes de Jordan d'une matrice 303 Cette égalité entre deux λ-matrices, nous donne en particulier pour les termes en position (1, 1), la relation f(λ) = d(λ)q11(λ) pour un certain polynôme q11(λ) et par conséquent, d(λ) divise f(λ). Posons qui est un polynôme normalisé, puisqu'il est le quotient de deux polynômes qui sont normalisés. Montrons que g1 est un polynôme annihilateur de la matrice A. En divisant l'égalité (1) par d(λ), on trouve g1(λ)I = (λI - A)D(λ). (2) La λ-matrice gi(λ)I est donc divisible par le binôme (λI - A), ce qui implique que g1(A)I = g1(A) = O et conséquemment que g1 est bien un polynôme annihilateur de A. Montrons que gi est le polynôme minimal de la matrice A. Si g désigne le polynôme minimal de A, on sait alors que g divise gi et on peut écrire g1(λ) = g(λ)h(λ) (3) pour un certain polynôme h(λ). Montrons que h(λ) = 1, ce qui impliquera que g1 = g, comme on le veut. Étant donné que g Є PA, on a g(A) = O et par conséquent la λ-matrice g(λ)I est divisible par le binôme (λI - A), ce qui entraîne l'existence d'une λ-matrice D1(λ) telle que 304 Éléments d'algèbre linéaire et en vertu de l'égalité (2) ainsi que de l'unicité du quotient, on trouve D(λ) = D1(λ)h(λ). Donc, h(λ) divise tous les éléments de la λ-matrice D(λ) et comme ces éléments sont des polynômes premiers entre eux, on déduit que h(λ) est une constante non nulle. Mais alors, puisque g et g1 sont des polynômes normalisés, on tire de l'égalité (3) que h(λ) = 1, complétant ainsi la démonstration. „ Remarque 2. Le théorème précédent nous offre une méthode pour calculer le polynôme minimal d'une matrice. Les polynômes irréductibles qui entrent dans la décomposition du polynôme minimal g de A se trouvent parmi les Formes normales et formes de Jordan d'une matrice 305 polynômes irréductibles qui entrent dans la décomposition du polynôme caractéristique f de A, car comme on l'a vu g | f. Montrons qu'inversement, tous les polynômes irréductibles qui entrent dans la décomposition de f se trouvent aussi dans la décomposition de g. est la décomposition en polynômes irréductibles du polynôme caractéristique f de A, sur le corps C, alors la décomposition en polynômes irréductibles du polynôme minimal g de A est donnée par...