Éléments d'algèbre linéraire

Chapitre 5 : Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire

CHAPITRE V VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES D'UN OPÉRATEUR LINÉAIRE§ 5.1 SOUS-ESPACES INVARIANTS PAR RAPPORT À UN OPÉRATEUR LINÉAIRE Soit X un espace linéaire sur le corps C et soit T Є La(X). 230 Éléments d'algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire 231 alors les vecteurs u1, u2, u3, ... , uk sont l.i. et ils forment une base de l'espace cyclique engendré par x par rapport à T. De plus, Donc, l'opérateur linéaire T réalise sur les vecteurs u1, ... , uk une permutation presque cyclique, puisque la seule exception est le vecteur Uk dont l'image par T n'est pas le vecteur u1 mais plutôt une combinaison linéaire de tous les vecteurs. C'est ce qui justifie toutefois l'appellation d'espace cyclique. 5.1.4 Théorème. L'espace cyclique engendré par un vecteur x par rapport à un opérateur linéaire T est invariant par rapport à T. 232 Éléments d'algèbre linéaire Remarque 2. Puisque l'espace cyclique engendré par x par rapport à T est invariant, on peut considérer l'opérateur linéaire obtenu par la restriction de T à cet espace. Si on prend la base B = {u1, ... , uk) où uj = Tj-1 (x) pour j = 1, ... , k, alors la matrice associée à T dans cette base est Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire 233 qui se partitionne en quatre blocs dont un ne contient que des zéros. Si de plus, les vecteurs um+1, ... , un engendrent un sous-espace X2 qui est invariant par rapport à T, alors la matrice associée à T relativement à la base B est L'argumentation précédente se généralise et nous donne alors : si une base de X possède une partition en k sous-ensembles engendrant des sous-espaces invariants par rapport à T, alors la 234 Éléments d'algèbre linéaire matrice associée à T relativement à cette base a une forme quasidiagonale de k blocs ayant pour ordre la dimension du sous-espace correspondant. Inversement, toute matrice quasi-diagonale de k blocs associée à T relativement à une base de X, détermine une partition de la base en k sous-ensembles engendrant des sous-espaces invariants par rapport à T et ayant pour dimension l'ordre du bloc correspondant. La situation idéale est de trouver si possible une base telle que chaque vecteur engendre un sous-espace invariant, car alors la matrice associée à l'opérateur linéaire est diagonale. La section suivante sera consacrée à ce problème. Le théorème suivant nous donne un critère pour vérifier si un sous-espace linéaire est invariant. Ce théorème nous offre aussi une méthode pour trouver effectivement les sous-espaces invariants par rapport à un opérateur linéaire T, dans un espace linéaire de dimension finie. Soient B = {u1, ... , un} une base de X et B1 = {vi, ... , vm} une base d'un sous-espace linéaire X1 de X. On a alors pour i = 1, ... ,n Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire 235 236 Éléments d'algèbre linéaire inconnues. Notons aussi que le rang de la matrice Z est m car l'espace invariant X1 est de dimension m. Trouver les sous-espaces invariants de dimension m par rapport à T revient donc à résoudre l'équation matricielle (2) où Z et L sont inconnues et le rang de Z est m.§ 5.2 VALEURS ET VECTEURS PROPRES Étudions maintenant le cas particulier des sous-espaces invariants de dimension 1, par rapport à un opérateur linéaire T. Notons d'abord que si X1 est un sous-espace linéaire de X dont la dimension est 1, alors Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire 237 c'est-à-dire qui s'écrit dans sa forme matricielle (A - λ|)x = o (3) où x = (ξ1, ... , ξn)t . Comme on cherche les x ≠ o, le système (2) doit avoir des solutions non triviales et par conséquent la matrice (A - λI) doit être singulière, ce qui entraîne que det(A - λ|)x = 0. (4) La condition (4) nous donne une...