Trois essais de méthodologie quantitative

CASANOVA: UNE MÉTHODE GRAPHIQUE D’IDENTIFICATION DES COMPOSANTES DE VARIANCE

CASANOVA : UNE MÉTHODE GRAPHIQUE D’IDENTIFICATION DES COMPOSANTES DE VARIANCE Nous allons présenter ici une méthode didactique pour mettre en relief l’expression des carrés moyens attendus en termes des composantes de variance dans le modèle de l’analyse de la variance. La méthode proposée consiste à utiliser des diagrammes, analogues à ceux d’Euler-Venn, pour représenter les carrés moyens attendus et les composantes de variance. Cette idée a d’abord été exploitée en théorie de la généralisabilité et provient, selon Cronbach, Gleser, Nanda et Rajaratnam (1972, p. vi), de Haruo Yanai. C’est surtout grâce à Lee Cronbach et à ses collaborateurs que l’on a pu connaître cette méthode visuelle. Ceux-ci s’en servaient pour identifier toutes les composantes de variance d’un devis d’observation complexe, tel que l’on en retrouve souvent dans les études de généralisabilité. Puis Brennan (1983), dans la foulée de Cronbach, a utilisé et vanté les mérites des diagrammes d’Euler-Venn, mais seulement en tant qu’outils visuels d’appoint. Cardinet et Tourneur (1985) ont à leur tour beaucoup employé ces diagrammes, qu’ils appellent d’ailleurs « diagrammes de Cronbach ». Ces derniers auteurs utilisent les diagrammes à toutes les étapes de l’algorithme de calcul des composantes de variance mixtes, mais surtout à des fins de vérification. Nous pensons que l’on peut exploiter ces diagrammes de façon plus importante. Nous montrerons en effet qu’il est possible d’utiliser les caractéristiques topologiques de ces diagrammes afin d’identifier toutes les composantes de variance d’un carré moyen attendu pour n’importe quel modèle mixte (balancé) en analyse de la variance, l’objectif ultime, dans ce cas, étant de déterminer les composantes du numérateur et celles du dénominateur d’un rapport F. Nous avons appelé cette méthode graphique CASANOVA ou « calcul analogique systématisé en analyse de la variance », du fait qu’elle nous semble plus attrayante (au plan pédagogique et au plan heuristique) que les équations maintenant classiques de Cornfield et Tukey (1956). Le lecteur désireux de rafraîchir ses notions en analyse de la variance peut le faire en consultant Bertrand et Valiquette (1986). Terminologie et notation Nous appellerons facette toute source de variation principale ou encore tout effet principal d’un devis de recherche. Facteur, dimension et variable indépendante sont aussi des synonymes acceptables de facette. Un niveau sera une des valeurs que peut prendre la facette. Deux facettes A et B sont dites croisées si chaque niveau de la facette A est combiné à chaque niveau de la facette B. La facette A est dite nichée dans la facette B si à chaque niveau de B est associée une partie seulement (un sous-ensemble strict) des niveaux de A. Une facette est fixée si les niveaux observés par l’expérimentateur sont les seuls qui l’intéressent, les seuls sur lesquels porteront les conclusions de la recherche. Une facette est aléatoire si les niveaux observés constituent un échantillon seulement des niveaux qui intéressent l’expérimentateur. Une facette est représentée par une lettre majuscule A,B,C ... Deux facettes A et B croisées se notent A × B. Une facette A nichée dans B se note A:B et A est alors l’indice primaire de l’indice total A:B. Le symbole na est réservé pour le nombre de niveaux observés de la facette A. Le symbole Na est le nombre de niveaux admissibles, le nombre de valeurs possibles que peut prendre la facette A pour la situation considérée. Un devis d’observation consiste en la donnée suivante : l’expression de toutes les facettes en jeu, des niveaux observés de chaque facette ainsi que des relations de nichage ou de croisement entre les facettes. Un devis d’estimation consiste en l’expression des niveaux admissibles de chacune des facettes du devis d’observation. 36 Devis d’observation et diagrammes Nous représentons graphiquement une facette A par une ellipse telle que : Deux facettes croisées A × B seront représentées par deux ellipses en intersection. On note que trois régions intérieures, indiquées 1, 2 et 3, sont déterminées par le croisement de deux facettes : Si...