Croissance végétale et morphogénèse

Chapitre V: Théories et modèles mathématiques

Les théories sont des filets : pour avoir prises il faut les lancer et chercher à faire les mailles de plus en plus fines (Novalis) 5.1 PRÉSENTATION 5.2 MODÈLE DE LA THÉORIE DES PRESSIONS DE CONTACTS 5.2.1 Contacts et Pressions de Contacts 5.2.2 Paramètres du Modèle 5.2.3 Conséquences du Modèle (Adler, 1974,1977a) 5.3 MODÈLE DE LA THÉORIE DU PREMIER ESPACE DISPONIBLE 5.3.1 Postulats Fondamentaux 5.3.2 Formulation Mathématique des Postulats 5.3.3 Conséquences du Modèle (Adler, 1975) 5.4 MODÈLES DE LA THÉORIE DE LA DIFFUSION 5.4.1 Modèle à Une Dimension (Thornley, 1975) 5.4.1.1 Génération des équations 5.4.1.2 Génération des primordia, simulation 5.4.2 Modèle Cellulaire (Veen-lindenmayer, 1973,1977) 5.4.2.1 Simulation 5.4.2.2 Résultats 5.4.3 Modèle a Deux Dimensions en Équilibre Dynamique (Young,1978) 5.5 MODÈLE DE LA THÉORIE PHYLETIQUE 5.5.1 Assertions Fondamentales 5.5.1.1 Représentation hiérarchique 5.5.1.2 Définitions 5.5.1.3 Modèle systémique (Jean, 1980c) 5.5.2 Conséquences du Modèle 5.5.3 Interprétation et Sous-Produit du Modèle 5.6 ACTIVITÉS DE RECHERCHE 5.1 PRÉSENTATION Plusieurs théories ont été proposées pour expliquer les arrangements phyllotaxiques. La plupart d’entre elles sont verbales. Ce chapitre présente les modèles mathématiques de la phyllotaxie des plantes dans les représentations cylindrique, centrique et hiérarchique. Bien que les chercheurs se préoccupent de décrire le phénomène depuis plus d’un siècle (depuis Bravais, 1837), les modèles mathématiques inspirés par ces descriptions n’existent que depuis moins de dix ans. Le présent traité reflète à peu près cette proportion historique par ses quatre chapitres sur cinq consacrés à l’aspect descriptif du problème. En fait, une description est une stratégie d’attaque du problème, et de contrôle de ses paramètres, et ce n’est que relativement récemment (depuis Richards 1948) que des stratégies se soient étoffées d’une façon cohérente. D’où la formulation tardive des modèles qui font l’objet du présent chapitre. Ces modèles sont de quatre types, constituant les quatre sections principales du chapitre (pressions de contacts, premier espace disponible, diffusion d’un inhibiteur et systémique). Le premier modèle (Section 5.2) nécessite une bonne connaissance du Chapitre II, mais le deuxième (Section 5.3) n’a pas de préalable. Les modèles de diffusion (Section 5.4) Présentation Section 5.1 155 nécessitent évidemment l’étude du Chapitre IV. Ce sont des modèles a une, deux ou trois dimensions, dans les représentations centrique ou cylindrique, et nécessitant l’assistance de l’ordinateur ; une théorie de diffusion sur une surface en croissance ne peut en effet être formalisée directement. Dans le dernier modèle on considère qu’un apex en croissance est un système où les sous-systèmes, les primordia, naissent, interagissent d’une façon aggrégative et s’ordonnent en hiérarchies selon un principe de maximisation d’énergie ou de minimisation d’entropie. Pour comprendre les fondements biologiques de ce modèle et la façon dont la représentation hiérarchique des primordia s’impose, nous reportons le lecteur à l’Activité de recherche #6 de la Section 5.6. Tous ces modèles font l’objet d’une discussion dans l’Épilogue. La méthode d’exposition du chapitre combine les méthodes utilisées dans les chapitres précédents. 5.2 MODÈLE DE LA THÉORIE DES PRESSIONS DES CONTACTS 5.2.1 CONTACTS ET PRESSIONS DE CONTACTS Les feuilles contre lesquelles une feuille plus jeune est comprimée sont les contacts de cette feuille. Les spirales déterminées visuellement par des contacts successifs sont dites Théories et Modèles Mathématiques Chapitre V 156 parastiques de contacts ; il y en a deux familles qui s’enroulent dans des directions opposées. Toutes les plantes n’ont pas de contacts, au...