Phytomathématique

I. Morphologie végétale: La phyllotaxie

CHAPITRE PREMIER MORPHOLOGIE VÉGÉTALE : LA PHYLLOTAXIE Splendeur des nombres curvisériés de la botanique Les heures pendant lesquelles la beauté nous absorbe sont les seules où nous vivons vraiment... (Richard Jefferies) Gœthe parle d’une tendance spirale dans la nature ; depuis C. Bonnet, au XVIIIe siècle, ce phénomène, étudié sous le nom de phyllotaxie, a fait l’objet de beaucoup de recherches et de spéculations chez les botanistes. Ce chapitre présente les principaux faits ainsi que les fondements mathématiques de la phyllotaxie. Il est la pierre angulaire de cet ouvrage. 3. Le nombre dans les plantes, la suite de Fibonacci Imaginons avec H. Steinhaus (1960) que chaque branche d’un certain arbre possède la loi de croissance suivante. Elle ne produit pas de nouvelle branche durant la première année de sa croissance. La seconde année elle engendre une branche, se repose une année, puis se ramifie à nouveau et ainsi de suite. Le tronc et ses prolongements sont considérés comme des branches. La figure suivante représente un tel arbre après une période de cinq années. On peut démontrer que l’on obtient successivement 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... branches. La figure suivante (d’après F. Land, 1960) représente, à droite, une inflorescence que les herboristes appellent ptarmique vulgaire. Son diagramme schématique à gauche donne le nombre de bractées (petites feuilles) à chaque niveau soit 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... (voir Huntley, p. 156, 160, 163). Les traces des palmes (voir figure tirée de Davis, 1971a) déterminent des spirales qui s’enroulent autour du stipe (tronc de palmier). A.T. Davis a calculé le nombre de spirales dans les différentes espèces (dattier, cocotier, arecs,...) et a obtenu 1, 2, 3, 5, 8, 13 et même 21 spirales ; il n’en connaît aucune qui présente les nombres 4, 6, 7, 9, 10, 11 ou 12. Davis (1970, 1971) nous assure qu’il existe des espèces exceptionnelles qui ne montrent pas d’arrangement spiral ; les feuilles sont disposées en colonnes verticales (orthostiques) au nombre de 2, 3, 5, 8,... Plus ce nombre est grand, plus la déflection angulaire d’une feuille à sa cadette immédiate tend vers 137°,5. 22 Phytomathématique Ces nombres, dits de Fibonacci1 , ont pour origine un problème saugrenu que Fibonacci pose dans son Liber Abaci publié en 1202 et qui s’énonce comme suit : Combien de paires de lapins peuvent être engendrées par une paire unique en un an si chaque mois chaque paire met bas une autre paire qui à partir du deuxième mois devient productive ? Au XVIIe siècle, ces nombres ont donné à Képler l’idée d’une suite récurrente dans laquelle chaque terme est défini en fonction des précédents : F(1) = F(2) = 1 F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) pour n = 3, 4, 5,... La suite de Fibonacci est ainsi la suite infinie : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,... Nous allons suivre cette suite privilégiée dans le dédale insoupçonné de ses fantaisies en phyllotaxie spiralée. Le tableau suivant, que nous avons obtenu comme ceux de la section suivante, à partir des informations glanées chez une dizaine d’auteurs, révèle que les marguerites ont une prédilection pour les nombres de Fibonacci ; en particulier le nombre 34 est pour elles le plus commun. Morphologie végétale : la phyllotaxie 23 Nous n’affirmons pas qu’il n’y a pas de fleurs à quatre pétales mais il est bien connu que les fleurs à cinq pétales sont les plus communes. Il y en a des centaines d’espèces, sauvages ou cultivées, surtout dans les renonculacées et les rosacées qui présentent le plus souvent des fleurs à cinq pétales et cinq sépales. La symétrie pentagonale est fréquente dans le monde organique. Les figures ci-contre (Weyl, 1952) illustrent les deux possibilités de symétrie autour d’un centre dans un plan, soit (a) la répétition d’une rotation d’angle ө = 360°/n (groupe cyclique, ici n = 5), comme dans la pervenche, (b) le groupe précédent auquel on ajoute...