Phytomathématique

Annexes

ANNEXES ANNEXE 1 CONSTRUCTIONS SPIRALES DE CHURCH La première figure de la page suivante (Church, p. 53), illustre la construction géométrique de spirales logarithmiques pour les rapports 1/1, 2/1 et 8/5. En deux mots, on trace un cercle que l’on partage en un nombre suffisamment grand de parties égales (50–100), on trace les rayons correspondants puis les cercles concentriques, en allant vers le centre, de façon à donner l’impression de “carrés”. Toute ligne joignant des points d’intersections d’une manière “régulière” est une spirale logarithmique. Deux spirales “réciproques” se coupent à angle droit. La deuxième figure (Church, p. 55) représente la construction, par cette méthode, du capitule 55 + 34 de l’hélianthe. 234 Phytomathématique Annexes 235 nées polaires (r,8) est : log(r/c)2 + ө2 = π2 /(m2 + n2 ) où c est la distance du centre du primordium à l’origine et (m,n) est la phyllotaxie du système. Ils déterminent un angle au centre de 2π/(m2 + n2 ). Cela fournit une approximation du paramètre appelé “bulk-ratio” par Church (1904, p. 338-339), soit le sinus de la moitié de l’angle au centre déterminé par un primordium. Selon Church le nombre d’orthostiques est m2 + n2 . Nous reportons le lecteur à cette analyse mathématique de Church (1904, p. 327-347) ainsi qu’à une critique de Thomas (1975, p. 469). Dans ce graphique, A et a représentent la même feuille (une tige est un cylindre déployé dans un plan ; ses feuilles forment un treillis) et 0 est une feuille qu’il est possible d’atteindre selon une parastique en m étapes de A et selon une parastique opposée en n étapes, à partir de a. Il y a m spirales (droites) parallèles à a0 et n parallèles à A0 et chaque famille de spirales comprend toutes les feuilles. On peut supposer m > n. Dans le cas particulier où il y a une feuille à chaque intersection de paires de parastiques opposées, Adler parle de paires visibles et il appelle un triangle comme A0a, triangle de parastiques opposées visibles appartenant à la paire (m,n). Les conclusions erronées de Thompson (p. 931) proviennent de ce que le travail de Tait, sur lequel il s’appuie ANNEXE II PARASTIQUES DE CONTACT ET DIVERGENCE, FORMULE DE TAIT Voici la méthode développée par Tait (1872) pour construire la spirale fondamentale et en calculer la divergence à partir de la connaissance du nombre de parastiques de contact (m,n) dans chaque famille. Le premier graphique est tiré de Tait et le second, tiré de Thompson (chapitre XIV), n’est qu’un cas particulier du premier. 238 Phytomathématique soit le plus petit possible. Soit µ/υ le dernier convergent de m/n. Si p/v > m/n, pour aller à P il faudra compter µ étapes le long de AQ et v étapes le long de QP. Siµ/υ n). On peut alors numéroter les écailles tel qu’indiqué. Les feuilles 1, 22, 43, 64,... forment un orthostique c’est-à-dire que o = 22, r = 2, s = 1. Le point 0 est l’écaille 41. Le dernier convergent de la fraction continue de 8/5 est 3/2 : µ = 3, υ = 2 (µ/υ