Éléments d'analyse complexe

Chapitre 4. Intégration

4.1 Intégration . Définitions Chapitre 4 INTÉGRATION où f1 et f2 sont des fonctions réelles continues et bornées. Dans cette formule le nombre i est considéré comme une constante dans une intégrale réelle. La variable t est un paramètre réel. Toutes les propriétés des intégrales réelles peuvent donc s’appliquer à cette intégrale. Par exemple : 116 Intégration b) On veut étendre la définition donnée en a) aux intégrales de fonctions le long de courbes dans le plan complexe. Soit f une fonction continue définie sur un sousensemble A du plan complexe et soit C un contour contenu dans A donné par z = z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b ; on définit l’intégrale de f selon C par Sur la courbe, f(z) devient f[z(t)] et dz devient z’(t) dt. Cette définition est rigoureuse et on peut en déduire toute la théorie. On pense l’intégrale complexe en termes de l’intégrale réelle et de la constante i. c) Cependant pour avoir une vue plus profonde, il est intéressant de présenter l’intégrale complexe à la façon de Riemann. Soit un arc C rectifiable. Divisons l’arc C en sous-arcs par les points zo, z1, z2, ... zn et prenons zk sur C entre zk-1 et zk comme on le voit sur la figure. Intégration 117 118 Intégration Intégration 119 120 Intégration Intégration 121 122 Intégration Intégration 123 4.3 Propriétés de l’intégrale Nous laisserons plusieurs énoncés sans preuve, car ils découlent des propriétés équivalentes dans le cas des variables réelles, ce qui est assez évident si on prend la définition 4.1.b). 124 Intégration Ici, C1 + C2 indique simplement la somme de deux parcours. Cette propriété nous permet de calculer l’intégrale sur un contour sur lequel la fonction pourrait être discontinue en un nombre fini de points, ou bien sur un contour qui ne serait pas régulier en un nombre fini de points, par exemple si le contour possède des "angles". Intégration 125 i) Théorème 4.3.2 Soit F(z) une fonction analytique avec une dérivée continue f(z) = F’(z) dans un domaine D. Prenons un contour C dans D avec un point initial z1 et un point final z2. Alors 126 Intégration 4.4 Théorème de Cauchy Nous abordons maintenant le plus célèbre, sans doute, des théorèmes de la théorie des variables complexes. On présente souvent ce théorème sous deux formes. La seconde, connue sous le nom de théorème de Cauchy-Goursat, nécessite moins d’hypothèses. Théorème 4.4.1 - Théorème de Cauchy Si f(z) est analytique et si sa dérivée f’(z) est continue à l’intérieur d’une courbe fermée simple C et sur la courbe elle-même, alors on a Intégration 127 a) Preuve pour le cas où la courbe est un triangle. Considérons le triangle ∆ ou ABC, et les petits triangles ∆1, ∆11, ∆111, ∆1111 obtenus 128 Intégration Intégration 129 130 Intégration b) Dans le cas où la courbe est un polygone fermé, on peut diviser l’intérieur du polygone en triangles et le théorème précédent s’applique à chacun des triangles pour s’appliquer finalement au polygone Si le polygone possède des côtés qui se coupent, la décomposition en triangles est également possible. c) Enfin le cas général de toute courbe fermée simple peut se résoudre en utilisant le cas précédent Prenons C dans un domaine où f(z) est analytique. Choisissons n points sur C et construisons le polygone p en joignant ces points. Définissons aussi Intégration 131 132 Intégration Intégration 133 Théorème 4.4.3 Le théorème 4.4.2 vaut aussi pour des régions multiplement...