Éléments d'analyse complexe

Chapitre1. Les nombres complexes

Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES 1.1 Introduction À l’intérieur du corps des réels nous ne trouvons pas de solution aux équations et a et b sont réels. Nous appelons ces éléments nombres complexes. Graduellement, la signification des nombres complexes a été clarifiée par de grands mathématiciens : Cardan, Wessel, Argand, Gauss, Hamilton. Les fonctions de variables complexes ont été développées subséquemment par Cauchy, Gauss, Riemann, Weierstrass, Dirichlet, Poincarré et beaucoup d’autres. Nous allons présenter les nombres complexes sous la forme (a + bi) parce que c’est la plus utile quand nous en étudions les fonctions. Nous signalerons plus loin d’autres façons de présenter les nombres complexes. 1.2 Le corps des complexes 2 Les nombres complexes L’addition est donc une opération fermée sur les complexes. Cette addition est commutative, c’est-à-dire si z et w sont deux nombres complexes. alors Les complexes forment donc un groupe additif commutatif. b) La multiplication s’obtient en multipliant les deux nombres complexes comme s’ils étaient des binômes algébriques en i et en se rappelant que comme on peut le vérifier facilement. On pourra donc définir la division de deux nombres complexes ainsi : Les nombres complexes 3 Les complexes forment donc un groupe multiplicatif commutatif. c) Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : Nous obtenons donc le théorème : L’ensemble des nombres complexes forme un corps. 1.3 Compléments et remarques a) Dans le nombre 4 Les nombres complexes 1.4 Représentation graphique des nombres complexes On peut interpréter les nombres complexes z = x + iy comme des points (x,y) du plan cartésien. C’est pourquoi nous parlons du plan complexe. L’axe des x est l’axe réel et l’axe des y est l’axe imaginaire. Un nombre complexe est alors représenté comme un vecteur partant de l’origine. L’addition de deux nombres complexes est analogue à l’addition de deux vecteurs. II en est de même de la soustraction. Les nombres complexes 5 1.6 Le module d’un nombre complexe. 1.5 Le conjugué d’un nombre complexe 6 Les nombres complexes Les nombres complexes 7 b) Le module de z est la longueur du vecteur allant de l’origine au point z. c) La propriété 1.6.9) signifie géométriquement que la somme des longueurs des deux côtés d’un triangle est plus grande que la longueur du troisième côté. 8 Les nombres complexes Les nombres complexes 9 10 Les nombres complexes 1.10 Forme exponentielle des nombres complexes En supposant que le développement de Maclaurin de la fonction exponentielle est valide dans l’ensemble des nombres complexes, on peut démontrer la formule d’Euler : eiӨ sera donc défini comme un vecteur unitaire faisant un angle e avec l’axe des x. On peut alors représenter un nombre complexe de module r et d’argument Ө ainsi : Les nombres complexes 11 De ces propriétés on tire des propriétés intéressantes des nombres complexes : c’est-à-dire que le module du produit est égal au produit des modules et que l’argument du produit est égal à la somme des arguments. c’est-à-dire que le module du quotient est égal au quotient des modules et que l’argument du quotient est égal à la différence des arguments. Nous voyons ici la signification géométrique du produit : rotation et dilatation. Si z1 est multiplié par z2, le module de z1 sera multiplié par le module de z2 et en même temps la direction de z1 sera changée d’un angle égal à celui de z2 . 12 Les nombres complexes Les nombres complexes 13 4) pourrait prendre une infinité de valeurs, mais à partir de k = n nous retrouvons des valeurs déjà obtenues ; en effet : Remarques. 1) On peut représenter ces racines sur un cercle de rayon r et disposées aux sommets d’un polygone régulier à n côtés. 2) On pourrait étendre cette formule, avec m et n relativement premiers, aux rationnels : 3) Si on désigne par w la racine n ième de 1 correspondante à k = 1, on obtiendra toutes les racines...