Éléments d'analyse complexe

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Éléments d'analyse complexe

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Avant-propos

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pp. vii-viii

Ce livre est destiné aux étudiants en mathématiques et en sciences qui prennent un premier contact avec la théorie des variables complexes. Nous pensons répondre à un besoin car on ne trouve pas facilement de livre français adapté à leur préparation dans ce domaine. La matière est présentée selon la tradition américaine. ...

Table des matières

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pp. ix-xii

Chapitre1. Les nombres complexes

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pp. 1-36

Graduellement, la signification des nombres complexes a été clarifiée par de grands mathématiciens : Cardan, Wessel, Argand, Gauss, Hamilton. Les fonctions de variables complexes ont été développées subséquemment par Cauchy, Gauss, Riemann, Weierstrass, Dirichlet, Poincarré et beaucoup d’autres. ...

Chapitre 2. Fonctions dérivées

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pp. 37-78

Si à chaque point z d’un ensemble de nombres complexes on fait correspondre une ou plusieurs valeurs w, nous disons que w est fonction de z. Pour bien préciser la fonction nous devons connaître le domaine de définition des z, le champ de la fonction c’est-à-dire l’ensemble des valeurs w, et enfin la règle de correspondance. ...

Chapitre 3. Fonctions élémentaires

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pp. 79-114

L’objectif de ce chapitre est de montrer que les fonctions élémentaires réelles peuvent être généralisées aux complexes et de souligner les particularités que nous y rencontrerons alors. ...

Chapitre 4. Intégration

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pp. 115-174

Ici, C₁ et C₂ indique simplement la somme de deux parcours. Cette propriété nous permet de calculer l’intégrale sur un contour sur lequel la fonction pourrait être discontinue en un nombre fini de points, ou bien sur un contour qui ne serait pas régulier en un nombre fini de points, par exemple si le contour possède des "angles". ...

Chapitre 5. Séries de puissances

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pp. 175-210

Soit S une région bornée par deux cercles concentriques C₁ et C₂, de centre zo, et de rayons r₁ et r₂, avec ri < r₂, Prenons une fonction f(z) analytique à l’intérieur de S et sur les deux cercles. Alors en tout point z à l’intérieur de S, f(z) peut être représentée par une série convergente de puissances positives et négatives de (z - z₀) : ...

Chapitre 6. Calcul des résidus

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pp. 211-282

Jusqu’à maintenant nous n’avons considéré les fonctions qu’en des points et des domaines où elles étaient analytiques. Dans ce chapitre nous allons étudier les "points singuliers" d’une fonction. Un point z₀ est un point singulier de f(z) si f(z) n’est pas analytique à z₀ bien que dans chaque voisinage de z₀ il y ait au moins un point où la fonction est analytique. ...

Chapitre 7. Transformations conformes

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pp. 283-322

Une bonne façon de représenter graphiquement les fonctions de variables complexes est d'utiliser deux plans. Le plan z est l'ensemble de départ et le plan w est l'ensemble d'arrivée. On trace dans le plan z des courbes dont on reproduit les images par f(z) dans le plan w. Quand nous faisons ainsi la représentation graphique d'une fonction, ...

Index

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pp. 323-324