Modèles probabilistes d'aide à la décision

8. Loi exponentielle et processus de poisson

Chapitre 8 LOI EXPONENTIELLE ET PROCESSUS DE POISSON Lorsque l'on cherche à modéliser une situation faisant intervenir un certain degré d'incertitude, il peut être essentiel de faire des hypothèses simplificatrices afin de pouvoir utiliser ce modèle pour calculer les paramètres nécessaires à la prise de décision. Par ailleurs, il ne faut pas simplifier au-delà d'un certain seuil car les conclusions du modèle pourraient être sans rapport avec la situation réelle. Il faut donc trouver le compromis qui permet de représenter l'incertitude de façon suffisamment exacte tout en permettant une assez grande facilité de calcul. La loi exponentielle est d'usage courant en recherche opérationnelle ; elle permet dans de nombreux cas de modéliser des variables aléatoires de façon réaliste et sans trop de complications dans les calculs. On l'utilise fréquemment pour représenter les variables aléatoires suivantes : intervalle de temps entre les arrivées de deux clients dans une file d'attente, durée d'une conversation téléphonique, durée de vie des composantes électriques ou électroniques, etc. Les propriétés particulières de la loi exponentielle découlent du fait qu'elle est "sans mémoire" : supposons, par exemple, que la durée de vie du tube cathodique de l'écran d'un micro-ordinateur est représentée par une variable aléatoire dont la loi est exponentielle. Si le tube a déjà fonctionné pendant 1 000 heures, la probabilité qu'il fonctionne encore 474 MODÈLES PROBABILISTES D'AIDE À LA DÉCISION pendant 50 heures est identique à la probabilité que, neuf, il fonctionne pendant 50 heures. Nous allons, dans la première partie de ce chapitre, étudier la loi exponentielle ainsi que ses propriétés fondamentales. Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous allons considérer un type de processus stochastique connu sous le nom de processus d'arrivée. Ces processus comptent le nombre d'événements (arrivées) dans un intervalle de temps donné. Le plus connu d'entre eux est le processus de Poisson. Ce dernier est souvent utilisé pour représenter le processus d'arrivée des clients dans un centre de services (magasin, banque, bureau de poste, etc.), le processus d'arrivée des appels à un central téléphonique, et le processus d'arrivée des particules radioactives dans un compteur Geiger. Notre étude va mettre en évidence les rapports étroits qui existent entre le processus de Poisson et la loi exponentielle. 8.1 LA LOI EXPONENTIELLE Rappelons d'abord certains résultats du chapitre 1. Définition 8.1.1. On dit qu'une variable aléatoire X a une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) si elle a la densité f (x) suivante : LOI EXPONENTIELLE ET PROCESSUS DE POISSON 475 8.1.1 Propriété caractéristique de la loi exponentielle Définition 8.1.2. On dit qu'une variable aléatoire continue positive X est sans mémoire si : P{X > x + y | X > y } = P { X > x} (8.1.3) pour tous x et y non négatifs. Si la variable aléatoire X représente la durée de vie d'un transistor, la relation (8.1.3) indique que la probabilité que le transistor fonctionne pendant au moins x + y heures étant donné qu'il a déjà fonctionné y heures est la même que la probabilité qu'il fonctionne initialement pendant x heures. Le transistor ne se "souvient" pas qu'il a déjà fonctionné y heures. 476 MODÈLES PROBABILISTES D'AIDE À LA DÉCISION LOI EXPONENTIELLE ET PROCESSUS DE POISSON 477 La démonstration du théorème 8.1.1 est relativement technique ; elle peut cependant être considérablement simplifiée si l'on suppose que la fonction G est différentiable. De (8.1.5) on déduit alors : Voyons maintenant l'utilisation de cette propriété dans des cas concrets. Exemple 8.1.1. Considérons une succursale de banque avec deux guichets. Un employé travaille à chaque guichet. Les temps de service à chaque guichet sont des variables aléatoires exponentielles indépendantes de même paramètre λ. Au moment où vous entrez dans la banque, les employés sont en train de servir un client chacun, mais il n'y a personne en attente. Votre service va commencer...