Introduction à l'analyse fonctionnelle

Chapitre 4_Espaces de Hilbert

CHAPITRE IV ESPACES DE HILBERT Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire. Nous allons voir que plusieurs propriétés géométriques de |Rn sont encore valables (voir paragraphes 1 et 2). Une caractéristique des espaces de Hilbert est qu’on peut trouver des bases orthonormales (paragraphe 3) qui nous permettent de calculer simplement les problèmes de meilleure approximation. Dans le paragraphe 4, nous parlons des isomorphismes des espaces de Hilbert pendant qu’au paragraphe 5, nous traitons de la théorie classique des séries de Fourier. Nous terminons le chapitre par le théorème de Müntz et des exemples de polynômes orthonormaux. 186 Introduction à l’analyse fonctionnelle 4.1 DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES Espaces de Hilbert 187 188 Introduction à l’analyse fonctionnelle EXEMPLE 4.1.5. Soit (X, M, µ) un espace mesuré. Alors dans l’espace linéaire L2 (dµ) sur X, l’application Espaces de Hilbert 189 190 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espaces de Hilbert 191 En utilisant 4.1.11 on retrouve le résultat 3.2.5, i.e. tout espace linéaire peut être muni d’une norme. THÉORÈME 4.1.15. Un produit scalaire est une fonction continuée sur X × X, par rapport à la norme induite. Cette équation nous montre que deux produits scalaires différents sur X entraînent deux normes induites différentes. THÉORÈME 4.1.14. Tout espace linéaire peut être muni d’un produit scalaire. DÉMONSTRATION. Soit X un espace linéaire et soit B une base algébrique de X. Alors nous définissons 192 Introduction à l’analyse fonctionnelle Jusqu’ici nous n’avons pas encore supposé que l’espace linéaire muni d’un produit scalaire était complet. Nous ferons un pas de plus en définissant l’espace de Hilbert. DÉFINITION 4.1.16. Un espace de Hilbert est un espace complet par rapport à la norme induite par un produit scalaire. En d’autres mots, un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire. On peut montrer, comme dans le cas des espaces métriques (voir 3.5.1) et normés (voir 3.10.1) que chaque espace préhilbertien peut être complété. EXEMPLE 4.1.17. Les exemples 4.1.3 à 4.1.5 sont des espaces de Hilbert. EXEMPLE 4.1.18. L’espace préhilbertien de 4.1.6 n’est pas un espace de Hilbert. Dans le prochain théorème, nous allons caractériser les normes qui sont induites par un produit scalaire. THÉORÈME 4.1.19. Soit X un espace de Banach. X est un espace de Hilbert (i.e. sa norme est induite par un produit scalaire) si et seulement si pour tout x, y Є X, on a DÉMONSTRATION. La condition nécessaire est montrée dans 4.1.13 par les égalités (3) et (4). Supposons donc qu’on ait (5) et soit (x,y) donné par (6). a) Montrons d’abord que ||x|| = (x,x)1/2 . En posant x = y dans (6), alors pour tout x Є X, Espaces de Hilbert 193 194 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espaces de Hilbert 195 196 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espaces de Hilbert 197 198 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espaces de Hilbert 199 200 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espaces de Hilbert 201 202 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espaces de Hilbert 203 THÉORÈME 4.2.20. (Décomposition orthogonale). Si H1 est un sous espace fermé d’un espace de Hilbert H, alors tout x Є H se décompose d’une manière unique ; 204 Introduction à l’analyse fonctionnelle i.e. E est un ensemble orthogonal dont chaque élément ei possède une norme égale à 1. REMARQUE 4.3.5. Un système orthonormal d’un espace de Hilbert est linéairement indépendant. En effet, si E = {ei ; i Є I} est un système orthonormal dans H, et si Espaces de Hilbert 205 206 Introduction à l’analyse fonctionnelle Espaces de Hilbert 207 L’espace ℓ2 étant complet, Hs est complet et donc lui-même un espace de Hilbert. Soit E = {ek ; k Є |N} un système orthonormal d’un...