Introduction à l'analyse fonctionnelle

Table des matières

TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE 1 — PRÉLIMINAIRES 1.1 Ensembles ordonnés. Axiome des chaînes maximales ............................................2 1.2 Éléments de topologie .............................................................................................6 1.3 Mesure et intégration .............................................................................................13 CHAPITRE 2 - ESPACES LINEAIRES 2.1 Espaces et sous-espaces linéaires ..........................................................................42 2.2 Ensembles linéairement indépendants. Sous-espaces engendrés............................47 2.3 Base algébrique. Dimension algébrique ................................................................49 2.4 Isomorphisme des espaces linéaires ......................................................................53 2.5 Décomposition en somme directe d’un espace linéaire .........................................56 2.6 Espaces linéaires quotient. Codimension algébrique .............................................57 2.7 Espaces linéaires topologiques ..............................................................................62 EXERCICES .........................................................................................................67 PROJETS ...............................................................................................................73 CHAPITRE 3 - ESPACES MÉTRIQUES 3.1 Espace métrique. Définitions. Propriétés générales ...........................................78 3.2 Espace normé. Définitions. Propriétés générales ...............................................88 3.3 Convergence. Espaces métriques complets ........................................................96 3.4 Une propriété de point fixe dans les espaces métriques complets ............................................................................................................111 3.5 Complétion des espaces métriques ...................................................................117 3.6 Espaces métriques de première et de deuxième catégorie de Baire .................................................................................................................121 3.7 Espaces métriques séparables ...........................................................................126 3.8 Espaces métriques compacts ............................................................................135 3.9 Espaces normés équivalents .............................................................................154 3.10 Complétion des espaces normés ......................................................................159 3.11 Espaces normés de dimension algébrique finie ...............................................161 3.12 L’espace produit ou somme directe de deux espaces normés .........................167 EXERCICES ....................................................................................................171 PROJETS ..........................................................................................................178 CHAPITRE 4 - ESPACES DE HILBERT 4.1 Définitions. Propriétés générales ......................................................................... 186 4.2 Orthogonalité. Décompositions orthogonales d’un espace de Hilbert ............................................................................................................ 195 4.3 Bases orthonormales d’un espace de Hilbert ...................................................... 204 4.4 Isomorphisme des espaces de Hilbert. Dimension hilbertienne ......................... 222 4.5 Les séries de Fourier .......................................................................................... 225 4.6 Théorème de Müntz et polynômes orthonormaux .............................................. 239 EXERCICES ....................................................................................................... 248 PROJETS ............................................................................................................. 253 CHAPITRE 5 - FONCTIONNELLES LINÉAIRES 5.1 Fonctionnelles linéaires sur un espace linéaire .................................................. 268 5.2 Fonctionnelles linéaires continues sur un espace normé .................................... 274 5.3 Fonctionnelles linéaires sur un espace de Hilbert .............................................. 279 5.4 Le théorème de Hahn-Banach ............................................................................ 282 5.5 L’espace dual topologique d’un espace normé .................................................. 291 5.6 Théorème de Banach-Steinhauss ........................................................................ 310 5.7 Distributions ....................................................................................................... 313 EXERCICES ....................................................................................................... 326 PROJETS ............................................................................................................. 331 CHAPITRE 6 - OPÉRATEURS LINÉAIRES 6.1 Opérations linéaires sur un espace linéaire ....................................................... 336 6.2 L’algèbre La(X) ................................................................................................. 341 6.3 Opérateurs linéaires continus sur un espace normé ........................................... 343 6.4 L’espace normé (L(X,Y), || ||) ........................................................................... 345 6.5 L’algèbre de Banach L(X) ................................................................................. 352 6.6 Opérateurs linéaires réguliers ............................................................................ 353 6.7 Opérateurs linéaires compacts ........................................................................... 358 6.8 Convergence dans L(X,Y) ................................................................................. 363 6.9 L’opérateur conjugué d’un opérateur linéaire continu ...................................... 371 6.10 Le théorème de Banach-Steinhaus .................................................................... 375 6.11 Le principe de l’application ouverte et le théorème du graphe fermé ..................................................................................................... 377 EXERCICES ....................................................................................................... 383 PROJETS ............................................................................................................. 388 CHAPITRE 9 - FONCTIONS DES OPÉRATEURS LINÉAIRES BORNES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE 9.1 La décomposition spectrale d’un opérateur compact et autoadjoint ....................................................................................................................478 9.2 Polynômes et fonctions holomorphes d’opérateurs bornés ...................................481 9.3 Fonctions continues d’un opérateur continu et auto-adjoint .................................497 9.4 Fonctions semi-continues supérieurement d’opérateurs continus et auto-adjoints ......................................................................................................503 9.5 Décomposition spectrale d’un opérateur linéaire continu et auto-adjoint ............................................................................................................507 9.6 Fonctions continues et semi-continues d’un opérateur unitaire ........................... 519 9.7 Décomposition spectrale d’un opérateur unitaire ..................................................521 EXERCICES .........................................................................................................527 INDEX ALPHABÉTIQUE ...................................................................................529 LISTE DE NOTATIONS PRINCIPALES..............................................................535 CHAPITRE 7 - OPERATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT 7.1 Formes bilinéaires et formes quadratiques ............................................................400 7.2 Opérateur adjoint ..................................................................................................406 7.3 Opérateurs auto-adjoints .......................................................................................408 7.4 Opérateurs auto-adjoints positifs ...........................................................................413 7.5 Projecteurs .............................................................................................................419 7.6 Opérateurs normaux ..............................................................................................424 7.7 Opérateurs unitaires ..............................................................................................425 7.8 Représentation d’un opérateur linéaire continu sur un espace de Hilbert séparable ...............................................................................................430 EXERCICES .........................................................................................................437 PROJETS ...............................................................................................................439 ...