Introduction à l'analyse fonctionnelle

Chapitre 7_Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert

CHAPITRE VII OPÉRATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT Dans ce chapitre, nous étudions plusieurs classes d’opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert. Nous commençons d’abord par étudier les formes bilinéaires et quadratiques sur un espace linéaire. Celles-ci sont à la base de ce chapitre et nous amènent aux opérateurs auto-adjoints qu’on rencontre souvent dans la physique et qui possèdent des propriétés fondamentales que nous allons étudier aux chapitres 8 et 9. De plus, il est possible d’introduire un ordre au sens que T ≥ 0 si (Tx,x) Є 0 pour tout x Є H. Une sous-classe d’opérateurs positifs est l’ensemble de projections orthogonales de H sur un sous-espace fermé. Après avoir introduit les classes normales et unitaires, nous terminons le chapitre par la représentation d’un opérateur linéaire sur un espace de Hilbert séparable par une matrice infinie. 400 Introduction à l’analyse fonctionnelle 7.1 FORMES BILINÉAIRES ET FORMES QUADRATIQUES Considérons d’abord un espace de Hilbert H sur K et T Є La(H). Alors les fonctions f1 et f2 de H × H dans K définies par Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 401 Il est facile a vérifier que l’ensemble de formes bilinéaires forment un espace vectoriel par rapport aux opérations habituelles de fonctions et si X est un espace normé, l’ensemble de formes bilinéaires bornées est un sous-espace que nous pouvons munir d’une norme de la manière suivante : 402 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 403 404 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 405 406 Introduction à l’analyse fonctionnelle 7.2 OPÉRATEUR ADJOINT Au paragraphe 6.9, nous avons introduit l’opérateur conjugué d’un opérateur linéaire continu T. Au cas où H est un espace de Hilbert et où T Є L(H), l’opérateur conjugué T’ est appelé l’opérateur adjoin de T et est noté par T*. À cause du théorème de Riesz (voir 5.3.1) nous avons : Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 407 THÉORÈME 7.2.1. Soit H un espace de Hilbert et soit L(H) l’algèbre de Banach des opérateurs linéaires continus T : H → H. Pour tout T Є L(H) il existe un et un seul opérateur T* Є L(H), tel que 408 Introduction à l’analyse fonctionnelle 7.3 OPÉRATEURS AUTO-ADJOINTS Dans ce paragraphe nous allons étudier une classe d’opérateurs Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 409 dans L(H) qui coincident avec leurs adjoints. DÉFINITION 7.3.1. L’opérateur T Є L(H) s’appelle auto-adjoint (ou encore symétrique, hermitien ou auto-conjugué) si T = T . C.-à-d. que T est auto-adjoint si et seulement si (Tx,y) = (x,Ty), pour tout x,y Є H. Notons par A(H) l’ensemble des opérateurs auto-adjoints sur l’espace de Hilbert H. 410 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 411 412 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 413 414 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 415 416 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 417 418 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 419 420 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 421 422 Introduction à l’analyse fonctionnelle Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert 423 424 Introduction à l’analyse fonctionnelle 7.6 OPÉRATEURS NORMAUX Dans ce paragraphe, nous allons étudier une classe d’opérateurs dans L(H) qui sont commutables avec leurs adjoints. DÉFINITION 7.6.1. Un opérateur T Є L(H) est normal si T ° T* = T* ° T. Le premier théorème est une caractérisation des opérateurs normaux à l’aide d’une décomposition. [3.16.81.94] Project...