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Section A. La distribution normale et le différentiel de sélection
- Presses de l'Université du Québec
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Section A La distribution normale et le différentiel de sélection Introduction C’est Francis Galton qui a baptisé du nom de « normale »la loi de distribution statistique qui a successivement été découverte par Abraham Moivre, Pierre-Simon Laplace et Carl Friedrich Gauss, loi dont l’expression mathématique générale prend la forme d’une fonction de densité de probabilité, soit : p(X) = (1) La loi normale (Patel et Read, 1996), parfois appelée gaussienne, obéit à deux paramètres externes : le paramètre de position µ, qui dénote à la fois la moyenne arithmétique, la médiane et le mode de la distribution, et le paramètre d’étalement ou de dispersion , appelé écart-type. La figure 1, sur la page suivante, est une illustration de cette loi, avec les valeurs paramétriques :µX = 100 ; X = 15 valeurs qui sont typiques des échelles normatives artificielles imposées aux tests de Quotient intellectuel (QI). La transformation linéaire de la variable distribuée X, selon : Z = (X µX) / σX , (2) où Z, appelé écart-réduit (ou score Z), permet d’exprimer la loi normale sous sa forme standard, de moyenne µZ = 0 et d’écart-type σZ = 1, soit : p(Z) = e ½Z² / . (3) La documentation réfère à cette densité normale standard par le symbole ϕ(Z) et à son intégrale, par Φ(Z), aussi appelée fonction de répartition. Nous avons évidemment : Φ( ) = 0 ; Φ(0) = 0,5 ; Φ( ) = 1. (4) Pourquoi la loi mathématique de la distribution normale apparaît-elle dès les premières pages d’un traité sur l’étalonnage ? La raison en est que, historiquement, l’utilisation du « modèle normal » et sa diffusion dans la communauté scientifique ont évolué à partir de deux référentiels importants, soit la théorie des erreurs de mesure, avec Gauss et Laplace, et la répartition des mesures biométriques dans la population, avec 8 L’étalonnage et la décision psychométrique 1. Un troisième référentiel, celui par lequel la loi normale sert de modèle d’approximation asymptotique pour d’autres lois de distribution, a été défriché plus tardivement, si on excepte l’observation princeps de Moivre, qui le premier a découvert la loi normale en cherchant une approximation asymptotique de la loi binomiale. Figure 1. Distribution normale de moyenne (µ) 100 et d’écart-type (σ) 15. Adolphe Quételet, Francis Galton et Karl Pearson (Stigler, 1986)1 . Forts des milliers de mesures relatives soit à la taille des personnes, à la longueur d’un membre, au poids corporel, etc., Quételet avança l’idée de l’universalité de cette loi de distribution et Galton la consacra du nom de « normale », c’est-à-dire une loi suffisamment fiable et confirmée pour servir de norme. C’est ce même modèle normal qui fut adopté et appliqué par les psychométriciens et les praticiens du testing psychologique et qui sert aujourd’hui de référence implicite dans l’interprétation des tests. Le lecteur trouvera d’autres considérations importantes sur le modèle normal et sa légitimité pour la pratique psychométrique dans la section mathématique, plus loin. Nature et présentation des tables de la section A Les tables de la section A concernent la forme de la distribution normale et son interpr étation. Noter que toutes ces tables, de même que celles des sections ultérieures, réfèrent à la loi normale standard et à la variable Z (ou z), de moyenne 0 et d’écart-type 1. [54.88.179.12] Project MUSE (2024-03-29 06:07 GMT) La distribution normale et le différentiel de sélection (Section A) 9 Les tables mettent en jeu six quantités, dont voici une description sommaire : • P ou T(c) : la quantité P, qu’on peut aussi écrire P(z) ou P(c), dénote l’intégrale normale ou fonction de répartition normale standard (aussi indiquée Φz) et varie de 0 à 1. On réfère aussi à P sous le vocable de rang centile (de 0 à 100), en imaginant la valeur correspondante 100×P. Pour les valeurs négatives de l’argument z (ou c), la symétrie de la distribution normale entraîne l’équivalence : P( z) = 1 P(z) (5) La valeur T(c), qui apparaît à la table A3, est appelée taux de sélection et représente simplement le complément de P...