Les décisions d'investissement dans les PME: Comment évaluer la rentabilité financière

Annexe 1.1: Les mathématiques financières

Annexe 1.1 Les mathématiques financières 1. LES NOTIONS DE BASE 1.1. La valeur finale d’un montant unique Considérons le placement immédiat d’un capital C qui sera suivi d’un revenu dans un nombre quelconque de périodes. Soit : C : Capital investi immédiatement i : Taux d’intérêt auquel est investi le capital VFn : Valeur finale du capital au bout de n années. Si l’investisseur place (investit) le capital C pendant une année au taux i, il retirera à la fin de cette période le capital placé accru des intérêts (VF1), soit : VF1 = C + Ci (1) Par exemple, je place 1000 $ dans un compte d’épargne qui rapporte de l’intérêt au taux annuel de 10 %. Au bout d’un an, je vais retirer : VF1 = 1000 + 1000 ⫻ 10 % = 1100 $ 1.1 18 LES DÉCISIONS D’INVESTISSEMENT DANS LES PME Supposons que je replace au même taux d’intérêt la valeur finale de mon placement de la première année. À la fin de la deuxième année, ce placement (VF2) vaudra : VF2 = VF1 + VF1 i (2) ou VF2 = 1100 + 1100 ⫻ 10 % = 1210 $ Remplaçons VF2 dans l’équation 2 par son expression dans l’équation 1. On obtient : VF2 = (C + Ci) + (C + Ci) i ou VF2 = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2 (3) VF2 = 1000 (1 + 10 %) (1 + 10 %) = 1000 (1 + 10 %)2 = 1210 $ Si le placement était effectué pour une période de trois ans, la valeur finale serait : VF3 = C (1 + i)3 = 1000 (1 + 10 %)3 = 1331 $ De façon générale, on peut obtenir la valeur finale d’un capital C placé pour n années au taux d’intérêt composé i avec la formule suivante : VFn = C (1 + i)n (4) PRENDRE NOTE QUE : Lorsque le capital engagé augmente à chaque période du montant de l’intérêt et que l’intérêt croît d’une période à l’autre, le placement est dit « à intérêt composé ». Exemple 1 : Vous possédez 2000 $ de liquidités que vous pouvez placer dans un compte qui rapporte de l’intérêt composé au taux annuel de 8 %. Combien aurez-vous accumulé au bout de deux ans ? INTRODUCTION 19 Solution 1 : Année Capital Début Intérêts Capital Fin 1 2000,00 $ 160,00 $ 2160,00 $ 2 2160,00 $ 172,80 $ 2332,80 $ VF2 = 2 000 (1 + 8 %)2 = 2 000 (1,1664) = 2332,80 $ 1.2. La valeur actualisée d’un montant unique La valeur actualisée n’est que l’inverse de la valeur finale, c’est-à-dire la valeur en dollars d’aujourd’hui de montants d’argent qui seront reçus dans le futur. Reprenons l’équation 4 VFn = C (1 + i)n donc C VF + + ( ) n n i 1 ou C = VFn (1 + i)–n (5) Exemple 2 : Laquelle des deux options suivantes vous semble la plus intéressante avec un taux d’intérêt annuel de 8 % ? a) Recevoir immédiatement 5000 $. b) Recevoir 6000 $ dans deux ans. Solution 2 : Il s’agit de rendre comparables les deux montants. Trouvons la valeur actuelle de 6000 $. C = + ( ) = ( ) = × = 6000 1 8 6000 1 08 6000 0 8573 5144 2 2 % , , $ – 20 LES DÉCISIONS D’INVESTISSEMENT DANS LES PME Donc, l’option b) est la plus intéressante ou, du moins, la plus enrichissante ! 1.3. L’intérêt simple Lorsque le capital engagé reste invariable pendant toute la durée du placement et produit des intérêts égaux, le placement est dit « à intérêt simple ». Exemple 3 : Reprenons la notation précédente et supposons un placement de 1000 $ à un taux d’intérêt simple de 10 % pour une durée de trois ans. La valeur finale de ce placement est égale à la somme du capital et des revenus d’intérêts annuels de 100 $, soit : Solution 3 : VF3 = 1000 + (1000 ⫻ 10 %) + (1000 ⫻ 10 %) + (1000 ⫻ 10 %) = 1300 $ ou VF3 = C + Ci + Ci + Ci ou VFn = C (1 + in) (6) Quant à la valeur actuelle, elle est égale à l’inverse de la valeur finale, soit : C VF = + ( ) 1 in (7) Exemple 4 : Combien devons-nous placer aujourd’hui pour disposer d’un montant de 1500 $ dans cinq ans, à un taux d’int...