Hasard, nombres aléatoires et méthode Monte Carlo

Chapitre 3 Production de nombres pseudo-aléatoires uniformes

3.1 Dans son cas général, la méthode Monte Carlo permet l'étude et l'évaluation des phénomènes quantitatifs en exploitant des séries de nombres aléatoires; ces derniers sont en quelque sorte le combustible de la méthode. Qu'entend-on ici par ces « nombres aléatoires » que la méthode Monte Carlo consomme ? Considérons une séquence de nombres quelconque, telle que { 4, 2, 6, 1, 3, 4 } . On peut tenter de déterminer l'ordre ou l'irrégularité des éléments de cette séquence, on peut construire un « programme » qui produit cette séquence, etc. Cependant, ce ne sont pas là des nombres aléatoires, mais plutôt des nombres donnés. A la limite, «4» n'est pas un nombre aléatoire, non plus que « 0,426134 ». Par nombres aléatoires, on désigne des nombres virtuels (c'est-à-dire, non encore produits) provenant d'une source aléatoire. L'épithète « aléatoire » caractérise vraiment la source de nombres plutôt que les nombres eux-mêmes, et elle a deux significations: l'une, à l'effet que la source fonctionne sous l'influence de facteurs divers, inconnus et non contrôlés, c'est-à-dire que sa production fluctue « au hasard », et l'autre, à l'effet qu'il est impossible de prédire les valeurs de la prochaine séquence de nombres produite. La première signification fonde et garantit la seconde, mais c'est à la seconde, à l'imprédictibilité des valeurs successives produites, que font référence les applications de la méthode Monte Carlo. Nous étudierons d'abord les moyens qu'il y a d'obtenir ou de produire des nombres aléatoires en quantité indéfinie; la source privilégiée de nombres est une fonction linéaire récursive qui fournit des nombres, ou variables, aléatoires à distribution uniforme. Nous identifierons ensuite quelques propriétés des variables aléatoires uniformes. Nous terminerons le chapitre en définissant les statistiques d'ordre de la loi uniforme et leurs fonctions (maximum, minimum, étendue, etc.), avec des techniques permettant de les produire directement. Le traitement de variables aléatoires répondant à différentes lois de distribution fera l'objet du chapitre suivant. Chapitre Production de nombres pseudo-aléatoires uniformes §3.2 Hasard, nombres aléatoires et méthode Monte Carlo 20 3.2 Il existe au moins trois catégories de sources de nombres aléatoires: les phénomènes stochastiques, les tables de nombres publiées, les fonctions linéaires récursives. La plupart des phénomènes étudiés, en sciences pures ou appliquées, en administration et ailleurs, comportent des aspects aléatoires, dont la mesure constitue une source possible de nombres aléatoires. C'est ce qui est mis à profit dans les tirages de loterie, pour lesquels l'on s'ingénie même à décanter les aspects aléatoires, à les dégager de contraintes potentiellement biaisantes: on place des boules numérotées dans un baril, boules de formes et de compositions le plus identiques possible, on secoue considérablement le baril (en lui faisant faire plusieurs tours, et le tout s'effectue sans intervention humaine, automatiquement. Des systèmes semblables, basés sur le décompte d'émissions radioactives dans un intervalle de temps fixe ou sur d'autres mécanismes physiques fortement aléatoires, ont permis de constituer des ensembles de nombres aléatoires satisfaisants. La table de nombres aléatoires) la plus connue, celle publiée par la compagnie RAND en 1955, fut bâtie à l'aide d'une machine stochastique. Tous les livres de tables statistiques (p. ex. Laurencelle et Dupuis 2000) présentent des ensembles de nombres aléatoires, constitués pour la plupart des chiffres 0 à 9 arrangés en tableau: citons par exemple les 40 000 chiffres aléatoires dans le fameux Handbook de D. B. Owen (1962, p. 519-538). Cette table, tout comme d'autres semblables, a été élaborée par ordinateur à partir d'une fonction linéaire récursive. Exemple 3.1 Une table de nombres aléatoires La table de Owen (op. cit.) s'étale sur 20 pages; chaque page contient des blocs disposés en 10 rangées de 10 colonnes, et chaque bloc est un petit tableau haut de 5 chiffres et large de 4. Pour m'y situer « au hasard », je demande à mon voisin de bureau un nombre de 1 à 20; il...