Hasard, nombres aléatoires et méthode Monte Carlo

Chapitre 11 Études illustratives de la méthode Monte Carlo

Chapitre Études illustratives de la méthode Monte Carlo 11.1 En épilogue de ce livre sur les nombres aléatoires, nous présentons quelques exemples d'applications de la méthode Monte Carlo. Ainsi que nous l'avons esquissé plus haut, la méthode Monte Carlo peut servir a l'étude de modèles en simulant leur activité et en accumulant des données de rendement dans un contexte réaliste. C'est ainsi qu'on l'applique a des modèles de marchés de valeurs, de chambres de particules en physique, de systèmes de communication ou de production, etc. (p. ex. Fishman 1996; Gordon 1969; Kalos et Whitlock 1986; Naylor 1971 ; Sobol 1974). Les modèles statistiques, eux, ne sont pas en reste, grâce sans doute a l'affinité qu'ils ont avec les ensembles de nombres aléatoires (Diaconis et Efron 1983 ; Gentle 1998 ; Robert et Casella 1999). La méthode Monte Carlo leur est appliquée pour étudier les propriétés formelles des modèles ou, simplement, pour trouver une réponse numérique approximative d'un problème autrement insoluble. En dernière analyse, cependant, la méthode Monte Carlo sert à estimer la valeur d'une fonction, — espérance mathématique ou intégrale définie —, en échantillonnant une variable aléatoire sur laquelle cette fonction est basée. Les exemples élaborés, que nous examinons dans ce chapitre, illustrent différents aspects de ce calcul. Le premier exemple, soit l'estimation de E (y), y = U(3:9), c'est-a-dire l'espérance de la troisième statistique d'ordre d'un échantillon de 9 v.a. uniformes de distribution U(0,1), sert de canevas pédagogique pour illustrer les techniques d'analyse et de réduction de variance survolées dans les chapitres précédents. Le second exemple, soit l'exécution par combinatoire approximative d'une analyse de variance de plan A x BR, i.e. un plan à deux dimensions et avec des mesures répétées sur la seconde dimension, montre les contraintes, l'utilité et la puissance de la méthode Monte Carlo lorsqu'appliquée au test d'hypothèses statistiques. Le dernier exemple, de plus petite envergure, donne au lecteur une idée du degré de raffinement rendu accessible par la méthode et, parfois, de sa capacité quasi exclusive à fournir une réponse. §11.2 Hasard, nombres aléatoires et méthode Monte Carlo 224 L 'estimation de l 'espérance E( U(3: 9) ) Dans un premier groupe d'efforts, nous procédons par des estimations a l'aveuglette de l'espérance de U(3:9), sans recours aucun a la loi de densité de cette variable, mais en tentant néanmoins d'y aller intelligemment, en mettant en œuvre les recettes et astuces a notre disposition. Dans un second temps, nous exploitons cette loi, en mettant en œuvre des techniques Monte Carlo plus sophistiquées. Dans chaque cas, la précision, le coût d'exécution et l'efficacité seront mesurés. Enfin, nous obtenons l'espérance par intégration. Quant au coût d'exécution de l'estimation Monte Carlo, sa détermination peut ou bien procéder formellement, en appliquant une convention de coût a l'analyse de l'algorithme, ou bien être empiriquement approchée en chronométrant un grand nombre d'exécutions programmées, généralement 10 000, lesquelles varient quelque peu en raison du caractère aléatoire des séries de v.a. utilisées. 11.3 Estimation par production d'échantillons et calcul d'une moyenne simple. La méthode Monte Carlo de base, rappelons-le, consiste à produire des échantillons, a trouver pour chacun la valeur de la fonction a estimer, puis a faire la moyenne des valeurs ainsi engendrées. Dans le cas présent, cette méthode donne lieu a la procédure suivante: 1) Produire un échantillon de n = 9 v.a. uniformes, de loi U(0,1) ; 2a) Trier les 9 valeurs en ordre (croissant), et 2b) Extraire la 3e valeur la plus petite, soit x~U(3:9) 3) Sommer les valeurs x, puis en donner la moyenne . L'étape 1, qui recourt a un générateur de nombres pseudo-alélatoires (p. ex.« RND ») de distribution U(0,1), reste élémentaire, tout comme l'étape 3. L'étape 2a, le tri, risque d'être...