Éléments d'algèbre linéraire

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pp. c-ii

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pp. iii-vi

Table des matières

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pp. vii-x

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Avant-propos

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pp. xi-xiv

Dans des domaines des plus variés, les utilisations de l'algèbre linéaire ne se comptent plus. Dès qu'une situation concrète peut se modéliser par des nombres réels ou des points dans le plan ou dans l'espace, et qu'il est possible d'établir entre ces éléments des relations respectant leur structure numérique fondamentale, alors les outils de ...

Liste de notations

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pp. xv-xx

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Chapitre 1 : Espaces linéaires

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pp. 1-68

L'algèbre linéaire a pour objet l'étude des espaces linéaires. Un espace linéaire ou espace vectoriel est un système algébrique particulier qui généralise l'espace réel à trois dimensions. De façons plus spécifique, un espace linéaire est un ensemble sur lequel on a défini une opération interne et une opération externe, possédant certaines ...

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Chapitre 2 : Algèbres linéaires

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pp. 69-124

On présentera maintenant une structure algébrique qui contient appelés scalaires. Notons ces éléments par des lettres grecques : 2.1.1 Définition. Une algèbre linéaire A sur un corps C est un ensemble non vide A d’éléments x, y, z, ..., appelés vecteurs, muni de trois a) Une opération interne, l’addition des vecteurs, pour laquelle A est ...

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Chapitre 3 : Espaces euclidiens

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pp. 125-188

Remarque 1. Les conditions 3 et 4 de la définition d'un produit scalaire entraînent le fait que le produit scalaire est une forme linéaire par Remarque 3. Les propriétés suivantes d'un produit scalaire se vérifient isomorphisme est une application linéaire et la propriété 4 montre qu'un On voit aussi que deux espaces euclidiens isomorphes sont aussi ...

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Chapitre 4 : Opérateurs linéaires

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pp. 189-228

...mathématiques. En fait, plusieurs sujets tels l'algèbre linéaire et l'analyse fonctionnelle se sont développés par le biais des opérateurs linéaires. De plus, sous certaines conditions, les opérateurs linéaires peuvent servir à l'approximation et sont en cela utiles pour les 4.1.1 Définition. Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même ...

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Chapitre 5 : Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire

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pp. 229-262

Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire 231 alors les vecteurs u1, u2, u3, ... , uk sont l.i. et ils forment une base de l'espace Donc, l'opérateur linéaire T réalise sur les vecteurs u1, ... , uk une permutation presque cyclique, puisque la seule exception est le vecteur combinaison linéaire de tous les vecteurs. C'est ce qui justifie toutefois ...

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Chapitre 6 : Matrice polynomiales

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pp. 263-300

Considérons M(m,n,C[λ]), l'ensemble des matrices d'ordre m × n dont les cœfficients sont des polynômes en λ. Soit A(λ) Є M(m,n,C[λ]), où aij(λ) Є C[λ] , pour i = 1, ... , m ; j = 1, ... , n. A(λ) s'appelle une Si on pose s = max{deg(aij(λ)) 1 i = 1, ... , m ; j = 1, ... , n}, on peut écrire A(λ) sous la forme d'un polynôme en λ. de degré s et dont les ...

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Chapitre 7 : Formes normales et formes de Jordan d'une matrice

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pp. 301-334

...dimension n2 avec unité I. Si on considère alors A Є M(n,n,C), les caractéristique de A, c'est-à-dire f(λ) = det(λ| - A), est un polynôme annihilateur de A (voir le théorème de Cayley-Hamilton). Notons par PA Aussi, puisque dans l'algèbre linéaire C[λ] tout idéal est principal (voir exemple 2, proposition 4, section 2.2), il existe un polynôme g(λ) Є C[λ] ...

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Chapitre 8 : Opérateurs linéaires sur un espace euclidien

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pp. 335-396

...confère à cet espace une propriété intéressante concernant les formes On montre maintenant qu'à tout opérateur linéaire T Є La(E), on peut associer, de manière unique, un opérateur linéaire adjoint T* Є Ainsi, la matrice de l'opérateur linéaire T* s'obtient à partir de la matrice associée à T, par transposition et conjugaison des éléments. ...

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Chapitre 9 : Formes bilinéaires

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pp. 397-512

...et si on fixe le vecteur x Є X, la forme bilinéaire F(x, y) devient une Notons que les conditions de la définition d'une forme bilinéaire bilinéaire sur des espaces linéaires de dimensions finies est Les éléments αij s'appellent les cœfficients de la forme bilinéaire F par 9.1.8 Corollaire. Les matrices associées à une forme bilinéaire pour ...

Index alphabétique

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pp. 513-519